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非代码面试题
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5964波利亚罐的极限比例一个罐子初始有 1 红 2 蓝。每步均匀随机抽一球，观察后连同一个同色球一起放回。设 R n/T n 为 n 次抽取后红球比例。该比例是有界鞅，收敛到极限 L。用可选停止/鞅收敛，求 E[L]。概率中等数值题未尝试免费5965分支过程的灭绝概率一个 Galton-Watson 分支过程从一个个体开始。每个个体独立地以概率 1/4 生 0 个后代、以概率 1/4 生 1 个、以概率 1/2 生 2 个。设 q 为灭绝概率。利用 q Z n 是鞅（Z n 为第 n 代种群规模），求 q。概率困难数值题未尝试面试订阅5966对称退出值对称简单随机游走从 0 出发，首次到达 +3 或 -3 时停止。由对称性与可选停止，停止时刻游走值的期望 E[S T] 是多少？概率简单数值题未尝试免费5967加倍策略与可选停止的失效一个赌徒初始净值 0，在一列公平硬币上做公平的 1 加倍下注（先押 1，再 2，再 4，...），在首次赢一局时停止（保证净赢 +1）。设 T 为该停时。求 E[T 时刻的净财富]，并说明它是否如朴素可选停止所暗示的等于时刻 0 的净值。概率中等数值题未尝试免费5968等待模式 HTHH 的时间反复抛掷一枚公平硬币。用鞅（赌徒团队）方法，求首次出现模式 H、T、H、H 所需抛掷次数的期望。概率中等数值题未尝试免费5969连续三个六反复掷一枚公平的六面骰子。用鞅（赌徒团队）方法，求首次出现连续三个六所需掷骰次数的期望。概率中等数值题未尝试免费5970选票问题的鞅解法选举中候选人 A 得 7 票、B 得 3 票；这 10 张票以均匀随机顺序计数。用鞅/可选停止方法，求在整个计票过程中 A 始终严格领先 B 的概率。概率困难数值题未尝试面试订阅5971有偏赌徒破产的期望时长一条游走从 2 出发，以概率 2/3 向右走 1、以概率 1/3 向左走 1，触 0 或 5 时停止。先求它在 5 处退出的概率，再用线性漂移鞅求期望时长 E[T]。概率困难数值题未尝试面试订阅5972在环上命中对面节点一个棋子在 6 个顶点的环上做对称随机游走（顶点记为 0..5，每步以各 1/2 的概率移动到两个相邻顶点之一）。从顶点 0 出发，求首次到达正对面顶点 3 所需步数的期望。概率简单数值题未尝试免费5973含平局停留的破产时长分数从 3 出发，每一轮以概率 0.3 加 1、以概率 0.3 减 1、以概率 0.4 保持不变（平局）。当分数首次达到 0 或 8 时游戏结束。求游戏结束所需轮数的期望。概率中等数值题未尝试免费5974有界鞅上的 Azuma 界设 M 0=0, M 1, M 2, ... 是增量对所有 k 满足 |M k - M k-1 | <= 1 的鞅。用 Azuma-Hoeffding 不等式给出它对 P(M 100 >= 20) 所能提供的最优上界。概率困难数值题未尝试面试订阅5975序贯边界检验的期望样本量独立抽样 X 1, X 2, ...，每个以概率 0.6 取 +1、以概率 0.4 取 -1，累加为 S n。当 S n 首次达到 +5 或 -5 时停止。退出概率为 P(在 +5 退出)=0.883636，P(在 -5 退出)=0.116364。用线性漂移（Wald-Wolfowitz）鞅求期望抽样数 E[N]。概率中等数值题未尝试免费5976破产前到达的期望最高值公平简单随机游走从 2 出发，首次触 0 或 5 时被吸收。设 H 为游走整条路径上到达的最高水平（吸收时的运行最大值）。求 E[H]。概率困难数值题未尝试面试订阅5977对乘积鞅的可选停止设 X 1, X 2, ... 为独立同分布的公平 +-1 步，定义乘积 P n = prod i=1 n (1 + (1/2) X i)，P 0 = 1。设 N 为任意几乎必然有限的停时。把 P n 视为鞅，求 E[P N]。概率中等数值题未尝试免费5978惰性有偏游走的首次穿越概率一条惰性游走从 1 出发。每步以概率 0.3 加 1、以概率 0.2 减 1、以概率 0.5 保持不变。首次到达 +4 或 -4 时停止。求它在 +4 退出的概率。概率中等数值题未尝试免费5979含非吸收障壁的三水平退出公平简单随机游走从 0 出发。标记三个水平：-3、+2、+6。只有两个极端水平 -3 与 +6 是吸收的，游走可自由穿过 +2。求游走在 -3 被吸收的概率，以及期望吸收值 E[S T]。概率困难数值题未尝试面试订阅5980含休息期的随机游走一个过程按轮进行。每一轮独立地：以概率 1/2 休息（位置不变），以概率 1/2 走一步（等概率 +1 或 -1）。当走者完成第 8 次真实（非休息）步时，在该轮停止。设 S 为此停止时刻的位置。求 E[S 2]。概率中等数值题未尝试免费5981直到首次掷出 6 为止的总投入你反复掷一枚公平骰子，直到第一次出现 6 为止；记 N 为掷骰次数（含成功的那一次）。每次掷骰你独立获得收益 X i，其中 E[X i]=1.5，各 X i 独立同分布且与骰子点数独立。求 E\! [\sum i=1 N X i ]。概率简单derivation未尝试免费5982二项个报价上成交的方差在 n=10 个挂单报价中，每个独立地以概率 0.3 成交，故成交数 N 服从 Binomial(10,0.3)。每笔成交产生独立同分布盈亏 X i，满足 E[X i]=2、 Var (X i)=9，且与哪些报价成交独立。对停和 S N=\sum i=1 N X i，求 Var (S N)。概率中等derivation未尝试免费5983越过盈利目标所需的交易笔数某策略记录独立同分布的正利润 X 1,X 2,\dots，满足 E[X i]=2.5。记 N 为累计总额 S n=\sum i=1 n X i 首次严格超过 10 的时刻，即 N=\min\ n:S n>10\ 。已知 E[N]< 且越过后的期望总额为 E[S N]=14。用 Wald 风格的恒等式求 E[N]。概率中等derivation未尝试免费