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非代码面试题
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150红骰遇蓝骰同时掷3个红色公平六面骰子和3个蓝色公平六面骰子。求红骰之和等于蓝骰之和的概率。概率困难数值题未尝试免费200通过斯特林数求空盒子数的完整分布将6个可区分的球独立且均匀随机地投入5个可区分的盒子中。令 E 为空盒子的数量。推导 P(E=k) 对所有可能的 k 值的概率质量函数，将每个概率表示为精确分数。概率困难derivation未尝试免费212通过概率母函数求几何分布的矩设 X \sim Geometric (p)，P(X = k) = (1-p) k-1 p（k = 1, 2, 3, \ldots）。 (a) 推导概率母函数 G X(s) = E[s X] 的闭式表达式。 (b) 利用 G X 计算 E[X] 和 Var (X)。 提示：E[X] = G X'(1)， Var (X) = G X''(1) + G X'(1) - [G X'(1)] 2。概率简单derivation未尝试免费215通过概率母函数求骰子总和的分布设 X 1, X 2, \ldots, X n 为公平 d 面骰子的独立掷骰结果，每个 X i 均匀分布于 \ 1, 2, \ldots, d\ 。令 S n = X 1 + \cdots + X n。 (a) 推导 G X 1 (s) = E[s X 1 ] 的闭式表达式。 (b) 写出 S n 的 PGF 并由此推导 E[S n] 和 Var (S n)。 (c) 对于 n = 3 个公平六面骰子（d = 6），用 PGF 求 P(S 3 = 10)。 (d) 解释系数提取方法与经典的隔板法加容斥原理之间的联系。概率困难derivation未尝试免费228伽马分布的矩生成函数设 X \sim Gamma ( , )，其概率密度函数为 f(x) = \Gamma( ) x -1 e - x （x > 0）。推导矩生成函数 M X(t) = E[e tX ]（t < ），再由 M X(t) 计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费230贝塔分布：推导、矩与联系考虑 Beta 分布，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( + ) \Gamma( )\Gamma( ) x -1 (1-x) -1 （x \in (0,1)）。 (a) 利用 Gamma 函数的积分表示，验证 \int 0 1 x -1 (1-x) -1 \,dx = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) ，从而证明 f 积分为 1。 (b) 推导 E[X] = + 和 Var (X) = ( + ) 2( + +1) 。 (c) 证明 Beta (1,1) 退化为 Uniform (0,1)。 (d) 若 Y 1 \sim Gamma ( ,1)、Y 2 \sim Gamma ( ,1) 独立，说明为何 Y 1 Y 1+Y 2 \sim Beta ( , )（无需完整证明）。概率困难derivation未尝试免费262均匀 ABC 流中等待 ABAB在一个 iid 符号流中，每个符号都从 \ A,B,C\ 中等概率选取。求直到 ABAB 第一次出现的期望等待时间。概率困难derivation未尝试免费264直到 ABC 或 CBA 首次出现的期望时间一个符号流在 \ A,B,C\ 上 iid 且均匀。求直到 ABC 或 CBA 任一模式首次出现的期望符号数。概率简单数值题未尝试免费267非均匀符号流中等待 ABAC一个 iid 信源分别以概率 rac 1 2 , rac 1 3 , rac 1 6 发出 A,B,C。求直到 ABAC 首次出现的期望等待时间。概率困难derivation未尝试免费268四符号流中的 ABCA在一个 iid 符号流中，每个符号都从 \ A,B,C,D\ 中等概率选取。求直到 ABCA 首次出现的期望等待时间。概率困难derivation未尝试免费269当前后缀为 ABC 时完成 ABCA在均匀 iid 的 \ A,B,C,D\ 符号流中，假设当前观察到的后缀恰好为 ABC。从现在起，到 ABCA 第一次出现还需要多少期望符号数？概率简单数值题未尝试免费273骰子上的回返重叠模式 1-2-1一枚公平六面骰不断掷出。求直到连续模式 1,2,1 第一次出现的期望等待时间。概率困难derivation未尝试免费274公平骰子上先出现 123 或 321 的时间一枚公平六面骰不断掷出。记 T 为连续长度 3 的块中首次出现 1,2,3 或 3,2,1 的时刻。求 E[T]。概率困难derivation未尝试免费275等待模式 HHTH一枚公平硬币重复抛掷。求直到模式 HHTH 第一次出现的期望抛掷次数。概率中等derivation未尝试免费503非对称步长赌徒破产赌徒初始资金 \3。每轮以概率 2/3 赢 \1，以概率 1/3 输 \2。资金 \le 0 为破产，\ge 5 为胜利。求胜利概率。概率中等数值题未尝试免费505带部分反射壁的赌徒破产马尔可夫链在 \ 0,1,2,\ldots\ 上，0 为吸收态。从 k\ge1 以概率 p 到 k+1、概率 q=1-p 到 k-1。状态 N 为反射壁：从 N 必定回到 N-1。从状态 k（1 \le k \le N）出发：(a) 求被 0 吸收的概率 r k。(b) 当 p=q=1/2，N=4 时，求 r 2 和 E[T|X 0=2]。概率困难derivation未尝试免费512向上跳跃的非对称破产赌徒在 \ 0,\ldots,6\ 上从位置 3 出发。每轮 +2 概率 1/3，-1 概率 2/3。0 和 6 为吸收壁（从 5 跳 +2 截断至 6）。求被 0 吸收的概率。概率中等数值题未尝试免费519用概率母函数求破产概率在 \ 0,\ldots,N\ 上的随机游走，0 和 N 为吸收壁。设 G k(s)=E[s \tau|X 0=k] 为吸收时间的母函数。 (a) 导出 G k(s) 的递推关系。 (b) 对 N=4, k=2, p=q=1/2，求 G 2(s)，并计算 E[\tau] 和 Var (\tau)。概率困难derivation未尝试面试订阅2721长度 9 条带的单块与骨牌铺法用长度为 1 的单块和长度为 2 的骨牌铺满一条长度为 9 的条带。请先写出铺法数 a n 的生成函数，再求 a 9。脑筋急转弯简单数值题未尝试面试订阅27221、2、4 步块的铺法计数设 a n 表示用长度为 1、2、4 的块铺满长度 n 条带的方法数。请写出生成函数 A(x)，并求 a 10。脑筋急转弯中等derivation未尝试面试订阅