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非代码面试题
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257模式 HTHT 的重叠代价一枚公平硬币重复抛掷。记 T 为直到 HTHT 首次出现的等待时间。求 E[T]。概率困难derivation未尝试免费263先命中 ABA 或 BAA 的时间在均匀 iid 的 \ A,B,C\ 符号流中，记 T 为 ABA 或 BAA 任一模式首次出现的时间。求 E[T]。概率中等derivation未尝试免费265非均匀符号流中等待 AABA一个 iid 信源分别以概率 rac 1 2 , rac 1 3 , rac 1 6 发出 A,B,C。求直到 AABA 首次出现的期望等待时间。概率中等derivation未尝试免费266非均匀符号流中等待 ABBA一个 iid 信源分别以概率 rac 1 2 , rac 1 3 , rac 1 6 发出 A,B,C。求直到 ABBA 首次出现的期望发射符号数。概率中等derivation未尝试免费270直到 1-2-3 出现的掷骰次数一枚公平六面骰不断掷出。求直到连续模式 1,2,3 第一次出现所需的期望掷骰次数。概率中等derivation未尝试免费271已掷出 1,2 后完成 1-2-3一枚公平六面骰不断掷出。已知当前观察到的后缀恰好为 1,2。从此状态开始，到 1,2,3 第一次出现还需要多少期望掷骰次数？概率简单数值题未尝试免费272骰子中连续三个 1一枚公平六面骰不断掷出。记 T 为连续三个 1 第一次出现的等待时间。求 E[T]。概率困难derivation未尝试免费480通过补偿鞅求击中时间方差马尔可夫链在 \ 0,1,2,3\ 上，从 i（0<i<3）以概率 2/3 跳至 i+1，1/3 跳至 i-1。0 和 3 吸收。令 T = \inf\ n: X n \in \ 0,3\ \ 。 (a) 用鞅 M n = X n\wedge T - (p-q)(n\wedge T) 和 OST 求 E[T \mid X 0=2]。 (b) 用鞅 N n = M n 2 - 4pq(n\wedge T) 求 Var (T \mid X 0=2)。 (c) 用一步分析验证 E[T]。概率困难derivation未尝试面试订阅489双目标集的分裂概率与期望击中时间五状态链 \ 0,1,2,3,4\ ，p(1,0)=1/2, p(1,2)=1/2, p(2,1)=1/3, p(2,3)=2/3, p(3,2)=1/4, p(3,4)=3/4。0,4 吸收。T=\inf\ n: X n \in \ 0,4\ \ 。(a) 求 P(X T=4|X 0=2)。(b) 求 E[T|X 0=2]。概率困难derivation未尝试免费490非对称链上的鞅构造求击中时间四状态链 \ 0,1,2,3\ ：p(1,0)=1/3, p(1,2)=2/3, p(2,1)=1/2, p(2,3)=1/2。0 吸收，3 反射（p(3,2)=1）。T=\inf\ n: X n=0\ 。(a) 构造鞅 M n=f(X n\wedge T )-(n\wedge T)c 求 E[T|X 0=2]。(b) 类似方法求 Var (T|X 0=2)。概率困难derivation未尝试免费500调和函数法求分裂概率与击中时间六状态链 \ 0,...,5\ ，0,5 吸收。转移概率如题。(a) 求调和函数 f(0)=0,f(5)=1，计算 P(X T=5|X 0=2)。(b) 求 E[T|X 0=2]。概率困难derivation未尝试免费504三人淘汰博弈三人 A,B,C 持有代币：A 有 2，B 有 1，C 有 1（共 4）。每轮随机选两人进行公平博弈（赢者从输者获一枚代币），代币为 0 则淘汰。求 A 最终赢得全部 4 枚代币的概率。概率中等数值题未尝试免费505带部分反射壁的赌徒破产马尔可夫链在 \ 0,1,2,\ldots\ 上，0 为吸收态。从 k\ge1 以概率 p 到 k+1、概率 q=1-p 到 k-1。状态 N 为反射壁：从 N 必定回到 N-1。从状态 k（1 \le k \le N）出发：(a) 求被 0 吸收的概率 r k。(b) 当 p=q=1/2，N=4 时，求 r 2 和 E[T|X 0=2]。概率困难derivation未尝试免费506鞅方法求有偏破产概率赌徒初始 \4，每轮赌 \1，正面概率 p=0.55。资金到 \0 或 \10 时停止。用鞅 (q/p) X n 和可选停时定理求她到达 \10 的概率。概率中等数值题未尝试免费515倍注策略下的破产概率赌徒用倍注策略（输后加倍）：初始赌 \1，输后翻倍，赢后重置。初始资金 \31，赌桌上限 \16（最多连输 5 次即破产）。目标 \42。求她到达目标的概率。概率困难数值题未尝试面试订阅525鞅方法求期望破产时间有偏随机游走在 \ 0,\ldots,10\ 上，p=0.6，从状态 3 出发。用鞅 M n = X n - 0.2n 和 OST 求期望吸收时间。概率中等数值题未尝试免费530超立方体 Q₃ 的等效电阻与通勤时间三维超立方体 Q 3（顶点为长度 3 二进制串，边连一位不同的串），每边电阻为 1。 (a) 利用 Q 3 的对称性，计算 000 与 111 之间的等效电阻 R eff (000,111)。 (b) 随机游走的通勤时间满足 C(u,v)=2m R eff (u,v)，其中 m 为边数。求 000 到 111 的通勤时间。概率困难derivation未尝试面试订阅630加权中心化和 5设 X 1, X 2, ... 是独立同分布的 Bernoulli(3/5) 随机变量，且 F n = sigma(X 1,...,X n)。定义 M n = sum (k=1) n 3k*(X k-3/5)。问 (M n) 是否关于 (F n) 构成鞅？概率困难derivation未尝试免费635终值投影过程 5设 X 1, X 2, X 3, X 4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F n。定义 Y = (X 1+X 2+X 3) 2，并令 M n = E[Y | F n]。问 (M n) 是否是鞅？概率困难derivation未尝试面试订阅642鞅诊断反例 2M n = X (n+1)-p，其中 X n 是独立同分布 Bernoulli(p)，滤过取自然滤过 F n。问 (M n) 是否是鞅？概率中等derivation未尝试免费