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非代码面试题
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152首次生日碰撞的期望人数人们依次进入房间，每人的生日独立且均匀分布在365天中。令 T 为首次出现生日碰撞时房间内的人数（即新来者与已有某人生日相同）。写出 E[T] 的含阶乘和365次幂的有限和闭式表达式，并给出数值近似。概率简单数值题未尝试免费153生日碰撞概率与指数近似房间里有50人，每人的生日独立均匀分布在 \ 1, 2, \ldots, 365\ 上。 (a) 写出至少两人同天生日的精确概率。 (b) 利用不等式 1-x \le e -x 导出 P( 全不同 ) 的一个上界并化简。该近似与精确值相比如何？概率中等derivation未尝试免费154期望的生日碰撞对数一组 n 人的生日独立且均匀分布在 \ 1,\ldots,365\ 上。令 X 为共享生日的无序对 (i,j)（i<j）的数目。利用指示随机变量求 E[X]，然后确定使 E[X] \ge 1 的最小 n。概率中等derivation未尝试免费155生日碰撞对数的方差延续期望碰撞对数的设定：n 人的生日独立均匀分布在 \ 1,\ldots,d\ 上。定义 X = \sum i<j 1 [B i = B j]。 (a) 计算 Var (X)。 (b) 一个令人意外的中间步骤：证明对不同的 i,j,k， Cov ( 1 [B i = B j],\, 1 [B j = B k]) = 0，即使两个指示变量共享指标 j。直观解释为什么协方差为零。 (c) 当 d = 365、n = 28 时，数值计算 Var (X) 并给出变异系数 \sigma X / E[X]。概率困难derivation未尝试面试订阅156逆向生日问题：最小日历天数23个人的生日独立且均匀分布在 \ 1, 2, \ldots, d\ 上。使至少两人同天生日的概率严格小于 1 2 的最小 d 是多少？概率简单数值题未尝试免费157非均匀生日分布增加碰撞概率假设 d 天的生日概率为 p 1, p 2, \ldots, p d，\sum j p j = 1（不一定均匀）。n 人的生日独立取自该分布。 (a) 证明当 n = 2 时，P( 碰撞 ) = \sum j=1 d p j 2 \ge 1 d ，等号当且仅当所有 p j = 1 d 时成立。 (b) 由此推出均匀分布使碰撞概率最小化。用一句话直观解释为什么非均匀性会增加碰撞。概率中等derivation未尝试免费158三人同天生日的碰撞阈值房间里有 n 人，生日均匀分布在 \ 1,\ldots,365\ 上。令 A 为至少三人同天生日的事件。 (a) 利用 Poisson 近似（将每天的人数建模为独立的 Poisson (n/365) 变量），导出 P(A) 的近似公式。 (b) 在该近似下，求使 P(A) \ge 1 2 的最小 n。概率中等数值题未尝试免费159近生日问题：生日相差一天以内14个人的生日独立且均匀分布在365天的环形日历上（第1天与第365天相邻）。若两人的生日相差不超过1天（同天或相邻天），则称为**近匹配**。令 M 为近匹配的无序对数。 (a) 计算 E[M]。 (b) 利用 Poisson 近似估计 P(M \ge 1)。 (c) 与标准生日问题对比：n = 14 人时，P( 至少一次精确匹配 ) 是多少？概率中等数值题未尝试免费160不同生日数的期望与方差在 n 人的生日独立均匀分布于 \ 1, \ldots, d\ 的设定下，令 D 为观察到的不同生日天数。 (a) 用指示随机变量推导 E[D]。 (b) 推导 Var (D)。需要计算 P( 第 j 天和第 k 天均有人 )（j \ne k）。 (c) 当 n = 100、d = 365 时，计算 E[D]、 Var (D) 以及期望的「碰撞人数」n - D。 (d) E[n - D] 与指示对方法得到的期望碰撞对数 \binom n 2 /d 是否相同？解释两者的区别。概率困难derivation未尝试面试订阅161相隔不超过一天的生日对的期望数40 个人的生日独立且均匀地落在一个 365 天的环形日历上。生日相同，或在环上相差 1 天的无序人对，其期望个数是多少？概率简单数值题未尝试免费162三重碰撞期望首次超过 1 的人数阈值在 365 天均匀生日模型里，使“同生日无序三元组”的期望数至少达到 1 的最小人数 n 是多少？概率简单数值题未尝试免费163同生日三元组数量的期望在一个有 m 天的均匀日历上，n 个人的生日彼此独立。共有多少期望数量的无序三元组会同一天生日？概率中等derivation未尝试面试订阅164四个人中恰好出现一对同生日的概率4 个人的生日在 365 天日历上独立且均匀。恰好只有一对人同生日，并且没有更大的碰撞时，概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅165至少与别人撞生日的人数期望在 365 天均匀生日模型中，n 个人生日彼此独立。至少有一位别人和自己同生日的人，其人数期望是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅166两组之间同生日配对的期望数A 组有 12 人，B 组有 18 人。每个人生日独立且均匀落在 365 天上。A 与 B 之间“恰好同一天生日”的跨组配对，其期望个数是多少？概率简单数值题未尝试免费167同时被两组命中的日期期望数A 组有 a 个人，B 组有 b 个人，生日都独立且均匀落在 365 天上。期望会有多少个日期同时被两组至少一人命中？概率中等derivation未尝试面试订阅168非均匀日历下的同生日对期望生日不一定均匀，而是以概率 p1,...,pm 落在第 1 到第 m 天。若有 n 个相互独立的人，则无序同生日人对的期望个数是多少？概率中等derivation未尝试面试订阅169相隔不超过两天的人对期望数在一个 365 天的环形日历上，n 个独立且均匀的生日里，生日在环上相距不超过 2 天的无序人对，其期望数是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅170在已有生日互异条件下下一位到来造成碰撞的概率设当前已经有 n 个生日，而且它们在 365 天日历上两两不同。现在再独立且均匀地加入一个新人的生日。这个新来的人造成精确撞生日的概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅171一个节日权重翻倍时的碰撞对期望数在一个 366 点日历上，有一个特殊节日的概率是 2/366，其余 364 天各自的概率都是 1/366。若有 n=30 个独立生日，无序同生日人对的期望个数是多少？概率简单数值题未尝试免费