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非代码面试题
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333随机次数抛硬币的全方差公式先抽取 N \sim Poisson (5)，然后在给定 N = n 的条件下掷 n 次公平硬币，令 X 为正面次数。求 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费334含公共分量的独立变量之和的协方差设 X、Y、Z 为独立随机变量， Var (X) = 1， Var (Y) = 2， Var (Z) = 3。令 U = X + Y，V = Y + Z。求 Cov (U, V) 和 Corr (U, V)。概率中等数值题未尝试免费335无放回抽样的样本均值方差一个箱子中有编号为 1, 2, \dots, N 的 N 个球。不放回地抽取 n 个球，令 X = \tfrac 1 n \sum i=1 n X i（X i 为第 i 次抽到的编号）。推导 Var ( X ) 关于 N 和 n 的表达式，并计算 N=10、n=4 时的值。概率困难derivation未尝试免费337独立变量之差的方差设 X 与 Y 独立， Var (X) = 4， Var (Y) = 9。一位同学声称 SD (X - Y) = SD (X) - SD (Y) = 2 - 3 = -1。求 Var (X - Y) 和 SD (X - Y) 的正确值，并解释该同学的错误。概率简单数值题未尝试免费338两个独立均匀变量之积的方差设 X 和 Y 独立，均服从 [0,1] 上的均匀分布。求 Var (XY)。概率中等数值题未尝试免费339二元正态的条件方差设 (X, Y) 服从二元正态分布，E[X] = E[Y] = 0， Var (X) = 1， Var (Y) = \sigma Y 2， Corr (X,Y) = 。推导 Var (Y \mid X = x) 并说明其不依赖于 x。对 \sigma Y = 3、 = 0.6 求数值。概率困难derivation未尝试免费343多项分布计数的协方差将一个公平六面骰子独立投掷 60 次。令 N 1 为面 1 出现的次数，N 2 为面 2 出现的次数。 (a) 求 Cov (N 1, N 2)。 (b) 利用 (a) 的结果求 Var (N 1 + N 2)，并通过识别 N 1 + N 2 的分布来验证。概率中等数值题未尝试免费344用 Delta 方法近似比率的方差设 X 和 Y 独立，E[X] = 10， Var (X) = 4，E[Y] = 5， Var (Y) = 1。利用 Delta 方法（一阶 Taylor 展开）推导 Var (X/Y) 的近似公式并求数值。概率困难derivation未尝试免费349随机和的方差（Wald 方差恒等式）某商铺每天收到 N 笔订单，N \sim Poisson (8)。每笔订单金额 X i 独立且 E[X i] = 50， Var (X i) = 400。令 S = X 1 + \cdots + X N 为每日总收入。 利用全方差公式推导 Var (S) 并求值。概率中等数值题未尝试免费350正态总体样本方差的精确方差设 X 1, \ldots, X n iid N( , 2)，样本方差 S 2 = 1 n-1 \sum i=1 n(X i - X ) 2。 (a) 确定 (n-1)S 2/ 2 的分布，据此推导 Var (S 2) 的精确公式。 (b) 当 n=10、 2=3 时求 Var (S 2)。概率困难derivation未尝试免费