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非代码面试题
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220通过特征函数证明二项分布的泊松极限设 X n \sim Binomial (n, /n)， > 0 固定。 (a) 写出 \varphi X n (t) 的闭式。 (b) 证明 \lim n \varphi X n (t) = e (e it -1) 。 (c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。 (d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。 (e) =5，n=100 时，用精确二项和泊松近似分别计算 P(X n=3)，求相对误差。概率困难derivation未尝试免费2850两个独立泊松计数之差设 X\sim Poisson (\lambda 1)、Y\sim Poisson (\lambda 2) 相互独立。求 D=X-Y 的特征函数，并计算 E[D] 和 Var (D)。概率中等derivation未尝试面试订阅2851用特征函数证明 Rademacher 的中心极限定理设 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用特征函数证明 \[ X 1+\cdots+X n n \Rightarrow N(0,1). \]概率困难derivation未尝试面试订阅2852Cauchy 样本均值仍是 Cauchy设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的标准 Cauchy 随机变量，其特征函数为 \phi(u)=e -|u| 。用特征函数证明样本均值 (X 1+\cdots+X n)/n 仍服从标准 Cauchy 分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2853用中心化特征函数得到泊松到正态的极限设 N \sim Poisson ( )。请直接使用特征函数证明 \[ N - \Rightarrow N(0,1) \quad 当 . \]概率困难derivation未尝试面试订阅2854稀有事件下二项分布到泊松分布设 X n\sim Binomial (n, /n)，其中 >0 固定。用特征函数证明 X n\Rightarrow Poisson ( )。概率中等derivation未尝试面试订阅2857双波动率混合并不是高斯分布收益 R 在条件上服从高斯分布： \[ R\mid V= \sim N(0, 2), \] 其中 V 以各 1/2 的概率取 1 或 2。求 R 的特征函数，并说明为什么 R 本身不是高斯分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2858从特征函数识别 Laplace 分布设某个中心化随机变量的特征函数为 \[ \phi X(u)= 1 1+b 2u 2 . \] 识别 X 的分布，并给出其存在区间上的 MGF。概率中等derivation未尝试面试订阅2860均匀收益冲击的特征函数设 X\sim Uniform [-a,a]。求它的特征函数，并由该变换恢复 Var (X)。概率中等derivation未尝试面试订阅2861为什么两个独立拷贝之差天然对称设 X 和 Y 相互独立且同分布，特征函数为 \phi(u)。证明 D=X-Y 的特征函数为 |\phi(u)| 2，并据此说明 D 关于 0 对称。概率中等derivation未尝试面试订阅2865没有 MGF 的稳定分布设 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，其特征函数为 \[ \phi X(u)=\exp(-c|u| 3/2 ),\qquad c>0. \] 证明 \[ n -2/3 (X 1+\cdots+X n) \] 与 X 1 同分布。概率困难derivation未尝试面试订阅