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非代码面试题
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2812单位正方形中的期望平方距离在单位正方形中独立均匀地选取两个点。它们之间欧氏距离平方的期望是多少？脑筋急转弯中等derivation未尝试面试订阅2813最大的重心面积份额超过一半在一个三角形内部均匀随机取一点。将该点与三个顶点相连，会把原三角形分成三个小三角形。求这三个面积份额中的最大者超过原三角形一半的概率。脑筋急转弯中等derivation未尝试面试订阅2814离中心比离原点更近在单位正方形中均匀随机取一点。该点离中心 (1/2,1/2) 比离原点 (0,0) 更近的概率是多少？脑筋急转弯中等derivation未尝试面试订阅2819一般偶数概率公式设 X 是取非负整数值的随机变量，其 PGF 为 G X(s)。请用 G X(-1) 表示 P(X 为偶数 )。概率中等derivation未尝试面试订阅2820泊松变量为偶数的概率若 N\sim Poisson ( )，用其 PGF 计算 P(N 为偶数 )。概率中等derivation未尝试面试订阅2821二项变量为偶数的概率若 X\sim Binomial (n,p)，用 PGF 计算 P(X 为偶数 )。概率中等derivation未尝试面试订阅2822子代为 0 或 2 的灭绝概率一个 Galton-Watson 分枝过程的子代 PGF 为 \phi(s)=0.3+0.7s 2。求其灭绝概率。概率中等derivation未尝试面试订阅2824临界的 0 或 2 子代分枝某分枝过程的子代 PGF 为 \phi(s)=\frac12+\frac12 s 2。它的灭绝概率是多少？概率中等derivation未尝试面试订阅2831亚临界情形下的总 progeny 均值设一个 Galton-Watson 分枝过程从一个祖先开始，其子代 PGF 为 \phi，平均子代数为 m=\phi'(1)<1。用总 progeny 的 PGF 方程推导 E[T]。概率中等derivation未尝试面试订阅2833复合泊松批量模型中的总和为零设 N\sim Poisson (3)，并且批次大小 B i 独立同分布，满足 \[ P(B i=0)=0.2,\quad P(B i=1)=0.5,\quad P(B i=2)=0.3. \] 记 S=\sum i=1 N B i。请用 PGF 计算 P(S=0)。概率中等derivation未尝试面试订阅2836固定批量大小为 2设 N\sim Poisson ( )，并定义 S=2N。求 S 的 PGF，并给出 P(S 为奇数 ) 与 E[S]。概率中等derivation未尝试面试订阅2845从 MGF 识别平移后的泊松分布某随机变量的 MGF 为 \[ M X(t)=\exp\!\bigl(2t+3(e t-1)\bigr). \] 识别 X 的分布，并计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试面试订阅2848从联合 MGF 读取协方差设 \[ M X,Y (s,t)=\exp\!\bigl(2s-t+2s 2+3st+\tfrac52 t 2\bigr). \] 计算 E[X]、E[Y]、 Var (X)、 Var (Y) 以及 Cov (X,Y)。概率中等derivation未尝试面试订阅2849两个指数变量之差设 X,Y\overset i.i.d. \sim Exponential ( )。用 MGF 判断 D=X-Y 的分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2850两个独立泊松计数之差设 X\sim Poisson (\lambda 1)、Y\sim Poisson (\lambda 2) 相互独立。求 D=X-Y 的特征函数，并计算 E[D] 和 Var (D)。概率中等derivation未尝试面试订阅2851用特征函数证明 Rademacher 的中心极限定理设 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用特征函数证明 \[ X 1+\cdots+X n n \Rightarrow N(0,1). \]概率困难derivation未尝试面试订阅2852Cauchy 样本均值仍是 Cauchy设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的标准 Cauchy 随机变量，其特征函数为 \phi(u)=e -|u| 。用特征函数证明样本均值 (X 1+\cdots+X n)/n 仍服从标准 Cauchy 分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2853用中心化特征函数得到泊松到正态的极限设 N \sim Poisson ( )。请直接使用特征函数证明 \[ N - \Rightarrow N(0,1) \quad 当 . \]概率困难derivation未尝试面试订阅2854稀有事件下二项分布到泊松分布设 X n\sim Binomial (n, /n)，其中 >0 固定。用特征函数证明 X n\Rightarrow Poisson ( )。概率中等derivation未尝试面试订阅2859指数样本均值的 MGF设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的指数随机变量，率参数为 ，并记 \[ X n= 1 n \sum i=1 n X i. \] 求 X n 的 MGF，并由此恢复 E[ X n] 和 Var ( X n)。概率中等derivation未尝试面试订阅