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非代码面试题
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5927最小化期望名次三件物品以随机顺序到来；每件之后你知道其相对于已见者的名次，并须不可撤回地接受或拒绝（最后一件强制接受）。你不追求取得唯一最优，而是希望最小化最终所接受物品的期望绝对名次（名次1=最优，名次3=最差）。求最优策略及可达的最小期望名次。概率中等数值题未尝试免费5928两次录用机会四位候选人以随机顺序到来，仅可观察相对名次。你可在过程中做两次不可撤回的选择（指向一位即被选中，之后还可再指向一位）；若你所选两位中至少有一位是整体最优者，则获胜。选择在线进行且不可回取。最优策略与获胜概率是多少？概率困难数值题未尝试面试订阅5929按次付费且可回取你可以抽取任意多个独立的 Uniform(0,1) 值，每抽一次支付成本 c。允许回取，故任何时刻你都可停止并收取迄今所见最大值。对 c = 0.125，求最优停止规则（停止的保留水平 r）以及期望净收益（所收最大值减去总抽样成本）。概率中等数值题未尝试免费5930为何完全信息胜过名次两位候选人的质量从已知的 Uniform(0,1) 分布独立同分布抽取，并以实际数值逐一揭示；你必须接受其一（拒绝第一位则被迫取第二位）。仅当你接受质量较高者才获胜。比较使用候选人1数值的完全信息策略的最佳获胜概率与仅看相对顺序的纯名次策略的最佳获胜概率。哪个更大，差多少？概率简单derivation未尝试免费5932抓住最后一个成功五个交易依次出现。每个交易独立地以概率 0.2 为“有效”（否则为“无效”）；交易出现时你立即得知有效/无效，并须不可撤回地接受或放弃，不可回取。当且仅当你接受了五个交易中的最后一个有效交易时获胜。用此类问题的赔率算法逻辑（从末端起累加赔率 r i = p i/(1-p i)，直到累计首次达到 1，从该位置起接受任何有效交易），求最优停止位置及获胜概率。概率困难数值题未尝试面试订阅5933博士后问题（选次优）四位质量各异且未知的申请者以均匀随机顺序到来；每位之后你只知道其相对于已见者的名次，并须不可撤回地接受或拒绝（若到达最后一位则必须接受）。著名变体：仅当你接受的申请者是全体四人中的次优者才算获胜（最优者被竞争机构抢走，故选到最优反而算失败）。求最优策略及恰好选到次优者的最大概率。概率困难数值题未尝试面试订阅5934苏丹的嫁妆与五位求亲对象苏丹要把 5 位女儿之一许配给宰相，按均匀随机顺序逐一引见。见过一位后，宰相只知道她的嫁妆相对于已见者的名次，并须立即不可撤回地接受或送走；若到最后一位则必须接受。仅当选中嫁妆最高者才算获胜。在所有“跳过前 r 位，然后接受第一个超过此前所有人者”的规则中，求最优 r 及精确获胜概率。概率中等数值题未尝试免费5935带面试成本的招聘三位质量各异且未知的候选人以均匀随机顺序到来；每位候选人必须先面试（按顺序）才能判断其相对名次，每次面试花费 0.05 效用。面试完一位后你立即不可撤回地录用或拒绝（若到第三位则必须录用）。若录用整体最优者得收益 1，否则为 0，再减去累计面试成本。在阈值规则“拒绝已面试的前 r 位，然后录用此后第一个记录高点”中，求最优 r 及对应的期望净收益。概率中等数值题未尝试免费5937指数分布报价下的保留工资工作机会依次独立到来，每个为速率 1 的指数随机变量（均值 1）。每个机会后你要么接受（并停止），要么永久拒绝并支付搜索成本 c = 0.2 以看下一个；无截止期。求最优稳态保留水平 a（高于它就接受），以及该策略下你最终接受的期望工资。概率中等数值题未尝试免费5939可能存在并列时的秘书选择三件物品以均匀随机顺序到来。它们的质量并非两两不同：其中两件质量为 2（并列最好），一件为 1。每件之后你观察其相对于已见者的质量，报告为“更高”“并列”或“更低”（即并列可见）。你不可撤回地接受或拒绝（最后一件强制）。你希望最大化所接受物品的期望质量。求最优策略与最大期望质量，并说明可观察到的并列如何改变你能保证的结果。概率中等数值题未尝试免费5940候选人数目未知的秘书问题候选人以均匀随机顺序逐一到来，但总数 N 本身是随机的：N=2 概率 1/2，N=3 概率 1/2，且你事先不知道 N。每位到来者之后你观察其相对于已见者的名次，并须不可撤回地接受或放弃；一旦序列结束，若你从未接受则失败。仅当你接受者为到来的全体 N 人中的整体最优时才获胜。求最大化获胜概率的策略及该概率。概率困难数值题未尝试面试订阅5941最优选择的 1/e 定律在经典的 n 候选人秘书问题中（仅看相对名次、选择不可撤回），“先看后跳”规则先观察前 r 位而不选择，然后接受此后第一个胜过此前所有人者。对大 n，令 r=t·n，推导以跳过比例 t∈(0,1) 为函数的极限获胜概率。然后求使其最大的 t 及由此得到的选中唯一最优者的最优渐近概率。概率中等derivation未尝试免费5945每种都要两个一台机器每次输出 3 种等概率代币中的一种，各次相互独立。要持有 3 种代币中每种至少两枚，期望需要玩多少次？概率困难数值题未尝试面试订阅5947还差两张你在收集 6 种等概率贴纸类型（各包独立）。当前恰好持有 4 种不同类型。要集齐全部 6 种，期望还需要多少包？概率简单数值题未尝试免费5955买随机还是买缺的那张你需要集齐全部 5 种类型，当前持有 4 种（恰好缺 1 种）。每轮你可以：(a) 花 \1 买一张随机券（在 5 种中均匀），或 (b) 直接向二手商以 \5 买你所缺的那种。最优地最小化今后期望总花费，完成全集的最小期望花费是多少？概率中等数值题未尝试免费5960每个箱子都要一对球逐个投放，每个独立投入 2 个等概率箱子之一。直到【每个】箱子都至少含 2 个球，期望投放多少个球？概率中等数值题未尝试免费5962向上爬一格的时间（有偏游走）一条游走从 0 出发，每步以概率 2/3 向右走 1、以概率 1/3 向左走 1。设 T 为首次到达 +1 的时刻。求 E[T]。概率中等数值题未尝试免费5963由可选停止得到 Wald 恒等式设 X 1,X 2,... 独立同分布，均值为 4；设 N 是关于这些 X 的停时，且 E[N]=10。利用鞅 M n = sum i<=n X i - 4n 与可选停止，求 E[X 1+...+X N]。概率简单数值题未尝试免费5964波利亚罐的极限比例一个罐子初始有 1 红 2 蓝。每步均匀随机抽一球，观察后连同一个同色球一起放回。设 R n/T n 为 n 次抽取后红球比例。该比例是有界鞅，收敛到极限 L。用可选停止/鞅收敛，求 E[L]。概率中等数值题未尝试免费5965分支过程的灭绝概率一个 Galton-Watson 分支过程从一个个体开始。每个个体独立地以概率 1/4 生 0 个后代、以概率 1/4 生 1 个、以概率 1/2 生 2 个。设 q 为灭绝概率。利用 q Z n 是鞅（Z n 为第 n 代种群规模），求 q。概率困难数值题未尝试面试订阅