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非代码面试题
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2896完全二部图 K_{2,3} 上的平稳分布一个简单随机游走运行在完全二部图 K 2,3 上。请给出每个顶点的平稳概率，以及二部图两侧各自承载的总平稳质量。概率中等derivation未尝试面试订阅2897三角形加一个悬挂节点考虑图上的简单随机游走：顶点 A,B,C 构成一个三角形，而 D 只与 A 相连。求该随机游走的平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2898带顺时针偏置的有向环在状态集合 \ 0,1,\dots,n-1\ 构成的有向环上，链从每个状态出发都以概率 p 顺时针移动、以概率 1-p 逆时针移动。证明其平稳分布是均匀分布。概率中等derivation未尝试面试订阅28990 到 m 上的反射随机游走考虑状态空间 \ 0,1,\dots,m\ 上的 Markov 链。对内部状态，它以各 1/2 的概率向左或向右移动；从 0 出发，它以概率 1/2 原地不动、以概率 1/2 移到 1；从 m 出发，它以概率 1/2 原地不动、以概率 1/2 移到 m-1。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2900截断出生-死亡链的平稳分布一条链运行在状态集合 \ 0,1,\dots,m\ 上。对内部状态 i，它以概率 p 走到 i+1，以概率 q 走到 i-1，以概率 1-p-q 留在原地。在 0 处，向左移动被替换为原地不动；在 m 处，向右移动被替换为原地不动。假设 p,q>0。求平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2901容量为二的小队列链一个队列长度过程运行在 \ 0,1,2\ 上。从状态 0 出发，以概率 1-a 留在 0，以概率 a 移到 1；从状态 1 出发，以概率 a 移到 2，以概率 b 移到 0，以概率 1-a-b 留在原地；从状态 2 出发，以概率 b 移到 1，以概率 1-b 留在 2。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2902加入惰性不会改变平稳分布设 是某个 Markov 链转移矩阵 P 的平稳分布。固定 \in(0,1)，定义其惰性版本 \[ P'= I+(1- )P. \] 证明 也是 P' 的平稳分布。概率简单derivation未尝试面试订阅2903带电导权重的随机游走在一张无向图上，每条边 \ u,v\ 都带有正的电导权重 c uv =c vu 。链从 u 走到 v 的概率为 \[ P(u,v)= c uv \sum w c uw . \] 求该链的平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2904目标权重为 1,2,5 的 Metropolis 链在链式图 1\leftrightarrow 2\leftrightarrow 3 上，每一步先在邻居中等概率提出移动，再使用 Metropolis 规则，目标权重与 (1,2,5) 成正比。问平稳分布是什么？概率中等derivation未尝试面试订阅2905Ehrenfest 置换模型的平稳分布在 Ehrenfest 置换模型中，总共有 N 个球，状态 i 表示恰好有 i 个红球。每一步随机均匀选取一个球并翻转其颜色。求该链在 \ 0,1,\dots,N\ 上的平稳分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2906在双随机基础链上加入均匀跳转设 Q 是一个有限状态的双随机矩阵，U 是每一行都为均匀分布的矩阵。定义 \[ P= U+(1- )Q,\qquad 0< <1. \] 求 P 的平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅29073x3 网格上的长期占用比例一个简单随机游走运行在 3 3 网格图上。请求出中心点、非角边点、角点的平稳概率分别是多少，并给出所有角点合计承载的总平稳质量。概率中等derivation未尝试面试订阅2908给定边被穿过的长期频率是多少？一个连通无向图上的简单随机游走从平稳分布出发。请问长期来看，“下一步会穿过某条给定的无向边 \ u,v\ （不区分方向）”的概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅2909带重置到零的四状态环考虑状态集合 \ 0,1,2,3\ 。从状态 i 出发，链以概率 1/2 移到 i+1 \pmod 4，并以概率 1/2 重置到 0。求其平稳分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2910三状态路径上的简单随机游走考虑路径图 1\leftrightarrow 2\leftrightarrow 3。简单随机游走每一步都等概率选择一个邻居移动。求其平稳分布。概率简单derivation未尝试面试订阅2911自定义三状态可逆链考虑状态集合 \ 1,2,3\ 上的链，其转移矩阵为 \[ P=\begin pmatrix 0.6 & 0.4 & 0\\ 0.2 & 0.5 & 0.3\\ 0 & 0.6 & 0.4 \end pmatrix . \] 求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2913K_{m,n} 两侧各占一半的平稳质量一个简单随机游走运行在完全二部图 K m,n 上。请证明：尽管两侧顶点个数不同，但两侧各自承载的平稳质量都等于 1/2。概率中等derivation未尝试面试订阅2914一个带权三角形上的平稳分布一个带权随机游走运行在顶点 \ 1,2,3\ 上，且对称电导权重为 \[ c 12 =1,\qquad c 23 =2,\qquad c 13 =3. \] 从某个顶点出发时，链按照相连边的电导权重比例选择下一顶点。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2915超立方体上的随机游走考虑状态空间 \ 0,1\ d 上的 Markov 链。每一步它都等概率选择一个坐标并翻转该坐标对应的比特。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2916单个祖先下第 n 代的期望规模一个 Galton-Watson 分枝过程从单个祖先开始，每个个体的平均子代数为 m。求 E[Z n]。概率简单derivation未尝试面试订阅