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非代码面试题
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376均匀随机变量的立方的分布设 X \sim Uniform (0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 3 的概率密度函数。概率简单derivation未尝试免费377均匀变量取指数后的分布（雅可比方法）设 X \sim Uniform (0,1)。利用换元（雅可比）公式求 Y = e X 的概率密度函数。概率简单derivation未尝试免费378两个独立均匀变量之和的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用卷积公式推导 Z = X + Y 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费379两个指数变量最大值的分布与期望设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 M = \max(X,Y)。 (a) 推导 M 的概率密度函数。 (b) 计算 E[M]。概率中等数值题未尝试免费380两个独立指数变量之比的分布设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 R = X/Y。 (a) 利用变换 (R,S) = (X/Y,\,Y)，通过雅可比行列式求 f R,S ，再对 S 积分得到 R 的 PDF。 (b) 将 f R 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 P(R \le 1)。概率困难derivation未尝试免费381均匀变量取负对数得到指数分布设 X \sim Uniform (0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = -\ln X 的概率密度函数，并识别所得分布。概率简单derivation未尝试免费382标准正态变量的平方服从卡方(1)分布设 X \sim N(0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 2 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费383指数变量的倒数变换设 X \sim Exp (1)，令 Y = \dfrac 1 1+X 。 (a) 利用换元公式推导 Y 的概率密度函数。 (b) 计算 E[Y]。概率中等derivation未尝试免费384两个独立均匀变量乘积的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用变换 (W,V)=(XY,\,Y)，推导 W = XY 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费385Box-Muller 变换：从均匀到独立正态设 U 1, U 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，定义 Z 1 = -2\ln U 1 \,\cos(2 U 2),\quad Z 2 = -2\ln U 1 \,\sin(2 U 2). (a) 计算从 (Z 1,Z 2) 到 (U 1,U 2) 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 Z 1 和 Z 2 是独立的 N(0,1) 随机变量。概率困难derivation未尝试免费386正态随机变量的仿射变换设 X \sim N( , 2)，a 0，b \in R 。利用雅可比公式证明 Y = aX + b 服从正态分布，并给出其参数。概率简单derivation未尝试免费387概率积分变换（逆 CDF 方法）设 F X 为连续严格递增的 CDF，U \sim Uniform (0,1)。证明 Y = F X -1 (U) 的 CDF 为 F X。 反之，证明若 X 的 CDF 为 F X，则 F X(X) \sim Uniform (0,1)。概率简单derivation未尝试免费388Beta 变量的比值变换得到 Beta prime 分布设 X \sim Beta (a,b)，a,b>0。利用换元公式推导 Y = X/(1-X) 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费389独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布设 X \sim Gamma ( ,1)，Y \sim Gamma ( ,1) 独立。利用变换 (W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 f W,S 并对 S 积分，证明 W \sim Beta ( , )。 (c) 证明 W 与 S 独立。概率困难derivation未尝试免费390多元正态的线性变换（矩生成函数法）设 X \sim N(\boldsymbol , \boldsymbol \Sigma ) 为 p 维正态随机向量， A 为 m p 常数矩阵。利用矩生成函数证明 Z = A X 服从多元正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。概率困难derivation未尝试免费391指数随机变量的平方根设 X \sim Exp (1)。利用换元公式推导 Y = X 的概率密度函数，并识别所得分布。概率简单derivation未尝试免费392均匀变量的正切变换得到柯西分布设 X \sim Uniform (- /2, /2)。利用换元公式推导 Y = \tan(X) 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费393两个标准正态平方和的分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)，R = X 1 2 + X 2 2。 (a) 利用极坐标推导 (R, \Theta) 的联合密度。 (b) 对 \Theta 积分，求 R 的密度并识别其分布。概率中等multi part未尝试免费394独立标准正态之比服从柯西分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)。利用变换 (Y,V)=(X 1/X 2, X 2)： (a) 推导联合密度 f Y,V (y,v)。 (b) 对 V 积分，求 Y=X 1/X 2 的边际密度并识别分布。概率困难derivation未尝试免费395正态的指数：对数正态分布设 X \sim N( , 2)，Y = e X。 (a) 利用换元公式推导 Y 的 PDF。 (b) 利用正态 MGF 计算 E[Y] 和 Var (Y)。 (c) 证明 Y 的中位数为 e ，并解释为何 >0 时 E[Y]> 中位数。概率困难multi part未尝试免费