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非代码面试题
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188带上限的弱组合数7 个不可区分任务分配到 4 个带标签服务器上。若每个服务器最多只能拿到 3 个任务，那么共有多少种可能的占用向量？概率中等数值题未尝试免费189重载盒子的概率将6个可区分的球独立且均匀随机地投入4个可区分的盒子中。至少有一个盒子包含3个或更多球的概率是多少？给出精确分数。概率困难数值题未尝试免费190奇数负载箱子的期望个数8 个带标签球独立地分配到 5 个带标签箱子里。最终负载为奇数的箱子数期望是多少？概率困难数值题未尝试免费191两个指定球都单独占据自己的箱子球 1 和球 2 被特别标记。6 个带标签球独立地分配到 4 个带标签箱子里。问球 1 与球 2 落在不同箱子里，并且这两个箱子都没有其他球时的概率是多少？概率简单数值题未尝试免费192精确占用轮廓 2-2-1-05 个带标签任务独立地分配到 4 个带标签队列。若把 4 个队列的负载排序后恰好等于 (2,2,1,0)，这样的分配共有多少种？概率中等数值题未尝试免费193非空盒子的条件期望占有量将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。已知盒子1非空，盒子1中球数的期望值是多少？给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费194非空盒子数量的方差将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。令 N 为非空盒子的数量。求 Var (N)。给出精确分数。概率困难数值题未尝试免费195六个盒子中首次碰撞的期望时间球逐个投出，每个球独立且均匀随机地落入6个盒子之一。令 T 为第一个落入已有球的盒子的球的编号（因此 T \ge 2）。推导 E[T] 并给出精确分数。概率困难derivation未尝试免费196三个指定箱子的负载严格递减7 个带标签数据包独立地分配到 3 个带标签箱子 A、B、C。问有多少种分配方式会让负载满足 load(A) > load(B) > load(C)？概率简单数值题未尝试免费197重负载箱子的期望个数8 个带标签球独立地分配到 4 个带标签箱子中。负载至少为 3 的箱子数期望是多少？概率简单数值题未尝试免费199盒子最大占有量的期望值将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。令 M = \max(X 1, X 2, X 3) 为单个盒子中球数的最大值。求 E[M]。给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费200通过斯特林数求空盒子数的完整分布将6个可区分的球独立且均匀随机地投入5个可区分的盒子中。令 E 为空盒子的数量。推导 P(E=k) 对所有可能的 k 值的概率质量函数，将每个概率表示为精确分数。概率困难derivation未尝试免费202二项分布的泊松近似一家工厂每天生产500个芯片，每个芯片独立地有 0.01 的缺陷概率。用泊松近似估计某天恰好有3个芯片有缺陷的概率。概率简单数值题未尝试免费204通过几何求和推导负二项分布的方差设 X 为累积 r 次成功所需的独立 Bernoulli(p) 试验总次数。将 X 表示为独立几何随机变量之和，并由此求 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费205用指示变量求超几何分布的均值与方差一个箱中有20个球：8红12蓝。不放回地抽取5个球，令 X 为抽到的红球数。定义指示变量 X i = 1 \ 第 i 次抽到红球 \ （i = 1, \ldots, 5）。 (a) 用期望的线性性求 E[X]。 (b) 计算 i \ne j 时的 Cov (X i, X j)，并由此推导 Var (X)。 (c) 验证当 N 且 K/N p 时，你的方差公式退化为二项分布方差 np(1-p)。概率困难derivation未尝试免费206几何分布的无记忆性设 X \sim Geometric (p) 为首次成功所需的独立 Bernoulli(p) 试验次数（P(X = k) = (1-p) k-1 p，k = 1, 2, \ldots）。 (a) 推导 P(X > n) 的闭式表达式。 (b) 证明无记忆性：对所有正整数 m, n，P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n). (c) 在 \ 1, 2, 3, \ldots\ 上是否存在其他无记忆的离散分布？简要说明。概率简单derivation未尝试免费207通过矩母函数求二项分布的矩设 X \sim Binomial (n, p)。 (a) 推导矩母函数 M X(t) = E[e tX ] 的闭式表达式。 (b) 对 M X(t) 求导并在 t = 0 处求值，得到 E[X] 和 E[X 2]，进而求 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费208独立泊松之和仍为泊松设 X \sim Poisson ( )，Y \sim Poisson ( )，且 X, Y 独立。 (a) 推导 Poisson ( ) 随机变量的矩母函数。 (b) 利用矩母函数证明 X + Y \sim Poisson ( + )。 (c) 某呼叫中心接收来自两个独立来源的电话，速率分别为 = 3 和 = 7（每小时）。下一小时恰好接到8通电话的概率是多少？概率中等derivation未尝试免费209从第一性原理推导负二项分布的概率质量函数设 X 为恰好累积 r 次成功所需的独立 Bernoulli(p) 试验次数。 (a) 通过分析直到第 X 次试验的结果序列结构，推导 P(X = k)（k = r, r+1, r+2, \ldots）。 (b) 利用负二项级数 (1-x) -r = \sum j=0 \binom r+j-1 j x j（|x| < 1）验证你的 PMF 之和为1。 (c) 当 r = 3，p = 1/2 时，计算 P(X = 7)。概率中等derivation未尝试免费210多项分布的协方差与条件分布掷一个公平骰子 n = 60 次。令 X i 为面 i 出现的次数（i = 1, \ldots, 6），则 (X 1, \ldots, X 6) \sim Multinomial (60, 1/6, \ldots, 1/6)。 (a) 用指示变量计算 Cov (X 1, X 2)。 (b) 求相关系数 (X 1, X 2)。 (c) 确定在 X 1 = 12 条件下 (X 2, X 3, X 4, X 5, X 6) 的条件分布，并求 E[X 2 \mid X 1 = 12]。概率困难derivation未尝试免费