题目540 · 概率
4-环图上的等效电阻与通勤时间
环图 $C_4$，顶点 $\{0,1,2,3\}$，每边电阻为 1。(a) 计算 $R_{\mathrm{eff}}(0,2)$。(b) 求通勤时间。(c) 求 $h(0\to 2)$ 并验证。
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English questions题目535 · 概率
K₂,₃ 上的等效电阻与通勤时间
完全二部图 $K_{2,3}$，部分 $A=\{a_1,a_2\}$（度 3）和 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$（度 2），每边电阻为 1。 (a) 计算 $R_{\mathrm{eff}}(a_1,a_2)$。 (b) 用 $C(u,v)=2m\cdot R_{\mathrm{eff}}(u,v)$ 求通勤时间。 (c) 用首步分析计算 $h(a_1\to a_2)$ 并验证。
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K₄ 删一边后的击中时间
取 $K_4$ 删除边 $\{1,4\}$。从顶点 $2$ 出发，求首次到达顶点 $4$ 的期望步数。
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Kₙ 上惰性随机游走的混合时间
$K_n$ 上的惰性随机游走。(a) 证明转移矩阵有两个不同特征值。(b) 求谱雙并确定混合时间的阶。
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Petersen 图上的击中时间
Petersen 图有 $10$ 个顶点、$15$ 条边，是 $3$-正则且距离传递的，直径为 $2$。每步等概率移向 3 个邻居之一。从顶点 $u$ 出发，求首次到达与 $u$ 不相邻的指定顶点 $v$ 的期望步数。
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三维超立方体上的击中时间
随机游走在三维超立方体 $Q_3$ 上进行：8 个顶点为长度 3 的二进制串，两顶点相邻当且仅当恰好一个坐标不同。每步等概率选一个坐标翻转。从 $000$ 出发，求首次到达 $111$ 的期望步数。
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完全三叉树上从叶到根的击中时间
完全三叉树深度为 $2$：根有 $3$ 个子节点，每个子节点有 $3$ 个叶子，共 $13$ 个顶点。简单随机游走每步等概率移向一个邻居。从一个叶子出发，求首次到达根的期望步数。
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完全二部图 K₃,₃ 上的击中时间
考虑完全二部图 $K_{3,3}$，两部分为 $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ 和 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$，$A$ 中每个顶点与 $B$ 中每个顶点相连。随机游走每步以概率 $1/3$ 移动到 3 个邻居之一。从 $a_1$ 出发，求首次到达 $b_1$ 的期望步数。
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完全图 K₄ 上的期望回返时间
简单随机游走在完全图 $K_4$ 上。每步等概率移向 $3$ 个邻居之一。从顶点 $v$ 出发，求首次返回 $v$ 的期望步数。
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完全图 K₄ 的覆盖时间
随机游走在 $K_4$ 上。(a) 求最大击中时间。(b) 用 Matthews 定理给出覆盖时间的界。(c) 精确计算覆盖时间。
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完全图 K₅ 上的击中时间
随机游走在完全图 $K_5$（5 个顶点，每对之间有边）上进行。每步等概率移动到 4 个邻居之一。从顶点 $u$ 出发，求首次到达指定顶点 $v \neq u$ 的期望步数。
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小图上的平稳分布与回返时间
图 $G$ 有四个顶点 $\{A,B,C,D\}$，边为 $\{A{-}B, A{-}C, A{-}D, B{-}C\}$，度序列为 $(3,2,2,1)$。(a) 求平稳分布。(b) 求每个顶点的期望回返时间。
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星图 S₅ 上叶之间的击中时间
星图 $S_5$ 有中心顶点 $c$ 连接 $4$ 个叶顶点。从叶 $\ell_1$ 出发，求首次到达叶 $\ell_2$ 的期望步数。
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梯子图（2×3 网格）上的击中时间
$2\times 3$ 网格图，顶点排列为两行三列。从角顶点 $1$（度 2）出发，求首次到达对角顶点 $6$（度 2）的期望步数。
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环图 C₆ 的期望覆盖时间
简单随机游走在环图 $C_6$ 上。从顶点 $0$ 出发，求访问所有 $6$ 个顶点的期望步数（覆盖时间）。
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环图上到对径顶点的击中时间
简单随机游走在环图 $C_8$（顶点 $0,1,\ldots,7$ 排成圆环）上进行。每步以概率 $1/2$ 顺时针或逆时针移动。从顶点 $0$ 出发，求首次到达对径顶点 $4$ 的期望步数。
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环图上惰性游走的谱雙与混合时间
环图 $C_n$ 上的惰性随机游走：每步以 $1/2$ 概率停留，各以 $1/4$ 概率移向两个邻居。转移矩阵特征值为 $\lambda_k=\frac{1}{2}(1+\cos(2\pi k/n))$。 (a) 求谱雙 $\gamma=1-\lambda_1$。 (b) 利用 $t_{\text{mix}}\asymp 1/\gamma$ 确定 $n\to\infty$ 时混合时间的阶。
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菱形图上的击中时间
取 $K_4$ 删除边 $A{-}D$ 得到“菱形图”，5 条边。(a) 求 $h(A\to D)$。(b) 求 $h(D\to A)$。(c) 计算通勤时间并用等效电阻验证。
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超立方体 Q₃ 的等效电阻与通勤时间
三维超立方体 $Q_3$（顶点为长度 3 二进制串，边连一位不同的串），每边电阻为 1。 (a) 利用 $Q_3$ 的对称性，计算 $000$ 与 $111$ 之间的等效电阻 $R_{\mathrm{eff}}(000,111)$。 (b) 随机游走的通勤时间满足 $C(u,v)=2m \cdot R_{\mathrm{eff}}(u,v)$，其中 $m$ 为边数。求 $000$ 到 $111$ 的通勤时间。
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路径图 P₃ 的覆盖时间
随机游走在路径图 $P_3$（顶点 $\{1,2,3\}$，边 $\{1{-}2, 2{-}3\}$）上。从顶点 $1$ 出发，求访问所有三个顶点的期望步数（覆盖时间）。
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路径图 P₅ 上的击中时间
路径图 $P_5$ 上的简单随机游走，顶点 $\{0,1,2,3,4\}$。端点确定性移向唯一邻居，内部顶点等概率左右移动。从 $0$ 出发，求首次到达 $4$ 的期望步数。
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路径端点之间的通勤时间
路径图 $P_n$，$n-1$ 条单位电阻边。(a) 求端点间等效电阻。(b) 用 $C=2m\cdot R$ 求通勤时间。(c) $n=4$ 时直接验证。
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轮图 W₆ 上的击中时间
轮图 $W_6$ 由中心顶点 $h$ 连接 $C_5$ 的 $5$ 个顶点组成。从边缘顶点出发，求首次到达 hub 的期望步数。
打开 →题目1856 · 统计
期限风险预算比率 1
一个平稳的均值回复价差满足 X_(t+1) = 1/2 X_t + epsilon_(t+1)，其中 Var(epsilon_(t+1)) = 4。从当前时点往前看，4 步均值回复预测误差方差占同期限随机游走预测误差方差的几分之几？
打开 →题目3072 · 统计
随机游走价值过滤一步
设 $x_t=x_{t-1}+w_t$，其中 $w_t\sim N(0,1)$；观测方程为 $y_t=x_t+v_t$，其中 $v_t\sim N(0,4)$。在时刻 $t-1$，滤波后的状态分布为 $N(-2,5)$。若观测到 $y_t=0$，求时刻 $t$ 的预测均值/方差以及更新后的均值/方差。
打开 →题目6037 · 统计
随机游走风险随期限的缩放
某价格服从无漂移随机游走，其每日增量独立同分布，标准差为 2 bp。当期限从 1 天增加到 9 天时，累计变动的标准差增长为原来的多少倍？
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