模块2.7.1 · 数学与统计能力 · 随机分析
布朗运动与伊藤积分
stochastic-calculus · brownian-motion · random-walk · donsker · gaussian-increments · filtration · martingale · quadratic-variation
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English questions模块2.3.1 · 数学与统计能力 · 时间序列分析
平稳性与 ARMA 模型
time-series · stationarity · autocorrelation · acf · pacf · white-noise · random-walk · ar
打开 →题目540 · 概率
4-环图上的等效电阻与通勤时间
环图 $C_4$，顶点 $\{0,1,2,3\}$，每边电阻为 1。(a) 计算 $R_{\mathrm{eff}}(0,2)$。(b) 求通勤时间。(c) 求 $h(0\to 2)$ 并验证。
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AR、MA 与 ARMA 过程
周一开盘前，某沪深300 量化私募的研究员把昨天打捞回来的 1500 个日内对数收益样本（log returns）丢进 R，画了一张样本 ACF：lag 1 大约 0.18，lag 2 大约 0.05，再往后几乎全部落进 Bartlett 带里。她想问的是：这条「拖尾」曲线像不像一阶自回归（autoregressive, AR）模型该有的样子？如果是 AR，...
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ARMA 模型的识别、估计与预测
周一早盘，某私募的时间序列研究员把过去 200 个交易日的对冲组合超额收益丢进 statsmodels。她想确认这条曲线是不是一个干净的 ARMA 过程——若是，残差就是一组白噪声，可以挂上下一阶段的 GARCH；若不是，她得回去重做特征工程。问题是：用 AR(1)、MA(1)、ARMA(1, 1) 还是 ARMA(2, 1)？拟合完之后怎么知道这一支模型确...
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K₂,₃ 上的等效电阻与通勤时间
完全二部图 $K_{2,3}$，部分 $A=\{a_1,a_2\}$（度 3）和 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$（度 2），每边电阻为 1。 (a) 计算 $R_{\mathrm{eff}}(a_1,a_2)$。 (b) 用 $C(u,v)=2m\cdot R_{\mathrm{eff}}(u,v)$ 求通勤时间。 (c) 用首步分析计算 $h(a_1\to a_2)$ 并验证。
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K₄ 删一边后的击中时间
取 $K_4$ 删除边 $\{1,4\}$。从顶点 $2$ 出发，求首次到达顶点 $4$ 的期望步数。
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Kₙ 上惰性随机游走的混合时间
$K_n$ 上的惰性随机游走。(a) 证明转移矩阵有两个不同特征值。(b) 求谱雙并确定混合时间的阶。
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Petersen 图上的击中时间
Petersen 图有 $10$ 个顶点、$15$ 条边，是 $3$-正则且距离传递的，直径为 $2$。每步等概率移向 3 个邻居之一。从顶点 $u$ 出发，求首次到达与 $u$ 不相邻的指定顶点 $v$ 的期望步数。
打开 →题目528 · 概率
三维超立方体上的击中时间
随机游走在三维超立方体 $Q_3$ 上进行：8 个顶点为长度 3 的二进制串，两顶点相邻当且仅当恰好一个坐标不同。每步等概率选一个坐标翻转。从 $000$ 出发，求首次到达 $111$ 的期望步数。
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从随机游走到布朗运动
上海某私募的量化研究员在白板上为沪深300 指数搭一个日内连续时间价格模型。她先画出一条平滑、处处可微的候选价格曲线 公式，立刻被同事打断：「只要 公式 处处可微，你看到斜率为正的时刻就买入、转负就卖出，几秒内便能锁定无风险收益——这与无套利冲突。」结论是，连续时间随机模型背后的噪声源 必须连续，但处处不可微 。本节按 龚光鲁《随机微分方程引论》的顺...
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伊藤公式与随机微分方程
钩子：周五下午两点四十分，私募衍生品桌上的一个数 周五下午两点四十分，你在一家沪深300指数增强私募的衍生品桌上，手里挂着一张以 300ETF 期权（300ETF options）对冲的指数风险敞口。模拟引擎用几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）跑了 10 万条 60 个交易日的路径，你发现一个让人不安的现象：输入的年...
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伊藤积分的构造
钩子：公式 究竟在写什么？ 上海某量化私募的衍生品研究组周一例会上，桌上摆着一份连续时间 Delta 对冲方案的初稿：策略对沪深300 股指期货持有动态头寸 公式，结算时账上的对冲腿累计盈亏被写成 公式。主管把上一课的笔记翻到边角，红笔划了一行——只要 公式 在背后由布朗运动（Brownian motion）公式 驱动，几乎每条样本路径的总变差（total ...
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几何布朗运动与量化金融应用
路演桌上的两条收益率 周三下午，沪深300 量化对冲产品的路演会。某私募管理人把净值幻灯片翻到第四页：年化预期收益 8%，年化波动率 40%。代销渠道的合规突然问：「按这个预期收益，投资者持有三年的中位数到底是多少？」管理人愣了三秒。这正是几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）在路演桌上现形的瞬间——算术意义的期望收益与...
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完全三叉树上从叶到根的击中时间
完全三叉树深度为 $2$：根有 $3$ 个子节点，每个子节点有 $3$ 个叶子，共 $13$ 个顶点。简单随机游走每步等概率移向一个邻居。从一个叶子出发，求首次到达根的期望步数。
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完全二部图 K₃,₃ 上的击中时间
考虑完全二部图 $K_{3,3}$，两部分为 $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ 和 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$，$A$ 中每个顶点与 $B$ 中每个顶点相连。随机游走每步以概率 $1/3$ 移动到 3 个邻居之一。从 $a_1$ 出发，求首次到达 $b_1$ 的期望步数。
打开 →题目536 · 概率
完全图 K₄ 上的期望回返时间
简单随机游走在完全图 $K_4$ 上。每步等概率移向 $3$ 个邻居之一。从顶点 $v$ 出发，求首次返回 $v$ 的期望步数。
打开 →题目539 · 概率
完全图 K₄ 的覆盖时间
随机游走在 $K_4$ 上。(a) 求最大击中时间。(b) 用 Matthews 定理给出覆盖时间的界。(c) 精确计算覆盖时间。
打开 →题目526 · 概率
完全图 K₅ 上的击中时间
随机游走在完全图 $K_5$（5 个顶点，每对之间有边）上进行。每步等概率移动到 4 个邻居之一。从顶点 $u$ 出发，求首次到达指定顶点 $v \neq u$ 的期望步数。
打开 →题目541 · 概率
小图上的平稳分布与回返时间
图 $G$ 有四个顶点 $\{A,B,C,D\}$，边为 $\{A{-}B, A{-}C, A{-}D, B{-}C\}$，度序列为 $(3,2,2,1)$。(a) 求平稳分布。(b) 求每个顶点的期望回返时间。
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布朗运动的性质与路径
钩子：沪深300期货上的已实现方差 周五尾盘，你坐在某 CTA 私募的随机分析席位上。组合在 CFFEX 的 IF（沪深300股指期货）主力合约上挂着一笔做市头寸，每周一你都会把上周 5 分钟对数收益逐项平方后求和，再与上周五收盘隐含的方差对比。经验上这条规律相当锐利：那个求和稳定在「已实现方差 × 经过时长」上，从 5 分钟切到 1 分钟、再切到逐笔，收敛...
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平稳性与自相关函数
某私募(private fund)交易日下午四点,你的 PM 把过去 500 个交易日的策略净值推过来,问:这条曲线的均值真的稳定吗?波动率有没有结构性变化?只看一条路径,凭什么相信估出来的均值与自相关有意义?这是时间序列分析(time series analysis)的元问题。横截面统计里你有 公式 个独立同分布(i.i.d.)样本,推断建立在「重复抽样」...
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星图 S₅ 上叶之间的击中时间
星图 $S_5$ 有中心顶点 $c$ 连接 $4$ 个叶顶点。从叶 $\ell_1$ 出发，求首次到达叶 $\ell_2$ 的期望步数。
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梯子图（2×3 网格）上的击中时间
$2\times 3$ 网格图，顶点排列为两行三列。从角顶点 $1$（度 2）出发，求首次到达对角顶点 $6$（度 2）的期望步数。
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环图 C₆ 的期望覆盖时间
简单随机游走在环图 $C_6$ 上。从顶点 $0$ 出发，求访问所有 $6$ 个顶点的期望步数（覆盖时间）。
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环图上到对径顶点的击中时间
简单随机游走在环图 $C_8$（顶点 $0,1,\ldots,7$ 排成圆环）上进行。每步以概率 $1/2$ 顺时针或逆时针移动。从顶点 $0$ 出发，求首次到达对径顶点 $4$ 的期望步数。
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环图上惰性游走的谱雙与混合时间
环图 $C_n$ 上的惰性随机游走：每步以 $1/2$ 概率停留，各以 $1/4$ 概率移向两个邻居。转移矩阵特征值为 $\lambda_k=\frac{1}{2}(1+\cos(2\pi k/n))$。 (a) 求谱雙 $\gamma=1-\lambda_1$。 (b) 利用 $t_{\text{mix}}\asymp 1/\gamma$ 确定 $n\to\infty$ 时混合时间的阶。
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菱形图上的击中时间
取 $K_4$ 删除边 $A{-}D$ 得到“菱形图”，5 条边。(a) 求 $h(A\to D)$。(b) 求 $h(D\to A)$。(c) 计算通勤时间并用等效电阻验证。
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超立方体 Q₃ 的等效电阻与通勤时间
三维超立方体 $Q_3$（顶点为长度 3 二进制串，边连一位不同的串），每边电阻为 1。 (a) 利用 $Q_3$ 的对称性，计算 $000$ 与 $111$ 之间的等效电阻 $R_{\mathrm{eff}}(000,111)$。 (b) 随机游走的通勤时间满足 $C(u,v)=2m \cdot R_{\mathrm{eff}}(u,v)$，其中 $m$ 为边数。求 $000$ 到 $111$ 的通勤时间。
打开 →题目531 · 概率
路径图 P₃ 的覆盖时间
随机游走在路径图 $P_3$（顶点 $\{1,2,3\}$，边 $\{1{-}2, 2{-}3\}$）上。从顶点 $1$ 出发，求访问所有三个顶点的期望步数（覆盖时间）。
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