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非代码面试题
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216离散均匀分布的均值与方差设 X 在 \ 1, 2, \ldots, n\ 上均匀分布，即 P(X = k) = 1/n。 (a) 推导 E[X] 的闭式表达式。 (b) 利用 \sum k=1 n k 2 = n(n+1)(2n+1)/6 推导 E[X 2]。 (c) 求 Var (X)。 (d) 对公平六面骰子（n=6）给出数值结果。概率简单derivation未尝试免费218通过几何等待时间求解赠券收集问题麦片盒中含有 n 种等概率的赠券之一。你逐盒购买，每次独立。设 T 为集齐所有 n 种赠券所需的盒数。 (a) 定义 T i 为从已有 i-1 种到获得第 i 种所需的额外盒数。T i 服从什么分布？ (b) 用 T 1, \ldots, T n 表达 T，并利用期望的线性性推导 E[T]。 (c) 证明 E[T] = n H n。 (d) 计算 n = 10 时的 E[T]。 (e) 利用 T 1, \ldots, T n 的独立性推导 Var (T)。概率中等derivation未尝试免费221伯努利分布：矩与矩母函数设 X \sim Bernoulli (p)，即 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，其中 0<p<1。 (a) 直接由 PMF 计算 E[X] 和 E[X 2]，进而求 Var (X)。 (b) 推导矩母函数 M X(t)=E[e tX ]，并验证 M X'(0)=E[X]，M X''(0)=E[X 2]。 (c) 证明 Var (X)=p(1-p) \le 1/4，并找到使方差最大的 p 值。 (d) 若 S=\sum i=1 n X i，X i 独立同分布 Bernoulli (p)，利用 MGF 证明 S \sim Binomial (n,p)。概率简单derivation未尝试免费222两个独立泊松随机变量的卷积设 X \sim Poisson (2)，Y \sim Poisson (3)，且 X、Y 独立。 (a) 用卷积公式 P(X+Y=k)=\sum j=0 k P(X=j)P(Y=k-j) 计算 P(X+Y=3)。 (b) 利用 X+Y \sim Poisson (5) 验证你的答案。 (c) 计算 P(X=1 \mid X+Y=3)。概率简单数值题未尝试免费223零截断泊松分布**零截断泊松分布**出现在观测到泊松过程至少发生一次事件时。设 Y \sim Poisson ( )， > 0，定义 X = (Y \mid Y \ge 1)。 (a) 推导 X 的 PMF，证明 P(X=k) = k k!(e -1) ，k=1,2,3,\ldots，并验证其和为 1。 (b) 通过截断关系求 E[X]，证明 E[X] = 1-e - 。 (c) 利用 Var (X) = E[X 2]-(E[X]) 2 推导 Var (X)。 (d) 当 =0.5 时，数值计算 P(X=1)、E[X]、 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费225独立几何随机变量的最小值设 X 1, \ldots, X n 独立，X i \sim Geometric (p i)（首次成功所需试验次数），定义 M = \min(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M > k) = \prod i=1 n (1-p i) k。 (b) 证明 M \sim Geometric (1- (1-p i))。 (c) iid 情形：求 E[M] 和 Var (M)，验证 n 时 E[M] 1。 (d) 五个独立交易员每天成交概率 0.3，求首次成交的期望天数和前 3 天无成交的概率。 (e) 证明 P(X j=M \mid M=m) 依赖于 j，对 n=2, p 1=0.3, p 2=0.5, m=2 计算。概率困难derivation未尝试免费236威布尔分布的中位数威布尔分布的形状参数 k > 0、尺度参数 > 0，其 CDF 为 F(x) = 1 - e -(x/ ) k , \quad x 0. (a) 推导该分布中位数的解析表达式。 (b) 当 k = 2， = 3 时，计算中位数。概率简单数值题未尝试免费247作为泊松过程等待时间的 Erlang 分布到达过程服从速率为 > 0 的泊松过程。设 T k 为第 k 次到达的时刻。 (a) 利用 P(T k > t) = P(N(t) < k)（其中 N(t) \sim Poisson ( t)），写出 T k 的 CDF 并求导得到 PDF。 (b) 指出该分布的名称，给出均值和方差。 (c) 当 = 1，k = 3 时，精确计算 P(T 3 > 2)。概率简单数值题未尝试免费249均匀分布的顺序统计量：最小值、最大值与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量，X (1) 为最小值，X (n) 为最大值。 (a) 推导 X (1) 和 X (n) 的 PDF。 (b) 计算 E[X (1) ] 和 E[X (n) ]。 (c) 极差 W = X (n) - X (1) ，当 n = 5 时计算 E[W]。概率中等数值题未尝试免费350正态总体样本方差的精确方差设 X 1, \ldots, X n iid N( , 2)，样本方差 S 2 = 1 n-1 \sum i=1 n(X i - X ) 2。 (a) 确定 (n-1)S 2/ 2 的分布，据此推导 Var (S 2) 的精确公式。 (b) 当 n=10、 2=3 时求 Var (S 2)。概率困难derivation未尝试免费638归一化乘积过程 3设 Y 1, Y 2, ... 是独立同分布的正随机变量，取值为 [1, 4]，对应概率为 ['3/4', '1/4']，并令 F n = sigma(Y 1,...,Y n)。定义 M n = (Y 1...Y n)/(7/4) n。问 (M n) 是否是鞅？概率中等derivation未尝试免费641鞅诊断反例 1M n = S n/(n+1)，其中 S n = X 1+...+X n，且增量是独立同分布的对称 ±1。问 (M n) 是否是鞅？概率简单derivation未尝试免费647可预见变换鞅 2M n = sum (k=1) n (1+S (k-1) 2) * X k, where X k are iid symmetric ±1。问该过程关于自然滤过是否构成鞅？概率简单数值题未尝试免费656公平区间退出时间 1一条对称随机游走从 1 出发，并在首次达到 0 或 6 时停止。停止时间的期望是多少？概率中等数值题未尝试免费673放缩步长退出时间 3一条公平随机游走从 3 出发，每一步以相等概率向右走 3 或向左走 3。它在首次达到 -9 或 9 时停止。停止时间的期望是多少？概率中等数值题未尝试免费69020 状态引擎中的重复状态 5一个确定性的交易引擎由状态对 (库存 mod 4, 现金桶 mod 5) 描述。从任意初始状态出发，每次观测记录一个状态。至少观测多少次，才能保证某个状态至少出现两次？脑筋急转弯中等数值题未尝试面试订阅692子集规模与余数同时碰撞 7对于 1,2,3,4,5,6 的任意 36 个不同子集，证明其中必有两个子集的大小相同，且元素和模 5 同余。脑筋急转弯中等derivation未尝试面试订阅693触发双标签整数碰撞的最小样本量 8把每个整数 n 用两个标签描述：它对 5 的余数，以及 floor(n/5) 的奇偶性。问最小的 N 是多少，才能保证任取 N 个整数时，必有两个整数拥有完全相同的一对标签？脑筋急转弯中等数值题未尝试免费892双分段需求总量 2某预测把年包裹投递拆成两段：A 段有 18000 个实体、每个发生 1.4 次；B 段有 6000 个实体、每个发生 3.1 次。合并后的年估计值是多少？脑筋急转弯中等数值题未尝试免费894双分段需求总量 4某预测把年在线咨询拆成两段：A 段有 15000 个实体、每个发生 2.5 次；B 段有 3000 个实体、每个发生 6 次。合并后的年估计值是多少？脑筋急转弯困难数值题未尝试面试订阅