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非代码面试题
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072覆盖样本空间的独立事件设 A 和 B 独立且 P(A \cup B) = 1。(a) 证明 (1 - P(A))(1 - P(B)) = 0。(b) 这对 P(A) 和 P(B) 有何限制？(c) 在 \Omega = \ 1,2,3,4\ 均匀概率下，给出满足条件的 A、B 并验证。概率简单derivation未尝试免费073整除事件与包含陷阱设 \Omega = \ 0,1,\ldots,11\ ，等概率。A = 偶数，B = 3 的倍数，C = 4 的倍数。(a) 列出各事件并求概率。(b) 对三对 (A,B)、(A,C)、(B,C) 分别判断独立性。(c) 解释失败的原因。概率中等derivation未尝试免费074校验位破坏四阶独立性设 \Omega = \ 0,\ldots,15\ （4位二进制串），等概率。定义 A i = \ b i = 1\ （i=1,2,3），A 4 = \ b 1 \oplus b 2 \oplus b 3 = 1\ 。(a) 证明每个 P(A i) = 1/2。(b) 证明 \ A 1,A 2,A 3,A 4\ 是 3-wise 独立的。(c) 计算 P(A 1 \cap A 2 \cap A 3 \cap A 4)，说明 4-wise 独立性失败。(d) 解释校验位为何在结构上受限于 A 1,A 2,A 3。概率困难derivation未尝试免费075随机排列的不动点不是独立的从 \ 1,2,3,4\ 的全排列中等概率选取 。定义 A i = \ (i) = i\ 。(a) 证明 P(A i) = 1/4，P(A i \cap A j) = 1/12。(b) A i 与 A j 是否独立？(c) 计算三元和四元交集概率。(d) 验证容斥恒等式 P(\bigcup A i) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4!。概率困难derivation未尝试免费077星期二男孩问题一个家庭恰好有两个孩子。已知其中至少有一个是在星期二出生的男孩。假设每个孩子是男是女的概率相等，出生在一周七天中任何一天的概率也相等，且所有这些均相互独立。问两个孩子都是男孩的概率是多少？概率简单数值题未尝试免费079四门蒙提霍尔问题有四扇门：一扇后面是汽车，另外三扇后面是山羊。你选择了1号门。知情的主持人从剩余门中打开一扇山羊门（在可选的山羊门中等概率选择），他打开了4号门。现在你有两个选择：(a) 坚持1号门；(b) 从未打开的门（2号或3号）中等概率随机选一扇切换。每种选择赢得汽车的概率分别是多少？是否存在更优的第三种策略？概率中等数值题未尝试免费080双信封悖论两个信封各装有一笔正数金额，其中一个恰好是另一个的两倍。你随机选一个信封，打开发现里面有 x 元。朴素论证如下：另一个信封等可能是 2x 或 x/2，因此换信封的期望值为 (1/2)(2x) + (1/2)(x/2) = 5x/4 > x，应该总是换——但这导致无限来回切换的荒谬结论。(a) 精确指出朴素论证中的谬误。(b) 假设较小金额 S 服从某个已知的真概率分布且 E[S] = < ，证明无条件换信封的期望收益为零。(c) 解释为什么条件于观察到 x 时，对于某些 x 值换信封是理性的，而对于另一些 x 值则不是。概率困难derivation未尝试面试订阅083领带悖论Alice 和 Bob 各收到一条领带作为礼物。两条领带的价格不同且均为正值。双方都不知道任何一条领带的价格。他们约定比较：领带较便宜的一方赢得对方的领带。Alice 推理：'如果我的领带值 x，那么我要么赢得一条价值超过 x 的领带，要么输掉一条价值 x 的领带。由于两种情况各占一半，我的期望收益为正。' Bob 做出完全相同的论证。两人都认为游戏对自己有利——但这在零和交换中构成矛盾。(a) 精确指出 Alice 推理中的谬误。(b) 假设第三方抽取 V \sim Uniform (1, 100)，将两条领带定价为 V 和 2V 并随机分配给 Alice 和 Bob。若 Alice 看到自己的领带标价为 x，她参与游戏的期望收益是 x 的什么函数？证明无条件期望收益为零。概率中等derivation未尝试免费084非传递骰子三个骰子的面值如下。骰子A： 2, 2, 4, 4, 9, 9 。骰子B： 1, 1, 6, 6, 8, 8 。骰子C： 3, 3, 5, 5, 7, 7 。每个骰子均匀公平。两名玩家各选一个骰子掷出，点数大者获胜。(a) 计算 P(A > B)、P(B > C) 和 P(C > A)。(b) 证明这些骰子是非传递的：A倾向于赢B，B倾向于赢C，但C倾向于赢A。(c) 在一个游戏中，对手先选骰子，然后你选。在每种情况下你应该选哪个骰子？你的获胜概率是多少？概率中等数值题未尝试免费097贝特朗悖论：随机弦问题考虑一个半径为 r 的圆及其内接等边三角形。随机画一条弦。弦长于三角形边长的概率是多少？在以下三种选择随机弦的方法下分别计算： (a) **随机端点：**固定一个端点，在圆周上均匀选取另一个端点。 (b) **随机中点：**在圆盘内均匀选取弦的中点。 (c) **随机半径：**选择一条半径，在该半径上均匀选取一点作为弦的中点。 对每种方法，建立并计算相关积分或几何论证。概率简单derivation未尝试免费102第一张A还是第一张K先出现将一副标准52张扑克牌充分洗匀后从牌顶依次翻开。求第一张A出现在第一张K之前的概率。概率简单数值题未尝试免费108洗牌后相邻的两张牌将一副标准52张扑克牌充分洗匀后排成一行。求黑桃A与黑桃K相邻（紧挨着）的概率。概率中等数值题未尝试免费109等到第一张红心的期望位置将一副标准52张扑克牌充分洗匀后从牌顶逐张翻开。设 X 为第一张红心出现的位置。求 E[X]。概率中等derivation未尝试免费129偶数和条件下出现对子掷两个公平的六面骰子，已知点数之和为偶数，求两个骰子点数相同的概率。概率中等数值题未尝试免费130四个骰子的期望不同面数掷四个公平的六面骰子，求出现的不同点数个数的期望值。概率困难数值题未尝试免费134七次抛硬币的近均等分布抛掷7枚公平硬币，求正面数与反面数之差不超过1的概率。概率中等数值题未尝试免费155生日碰撞对数的方差延续期望碰撞对数的设定：n 人的生日独立均匀分布在 \ 1,\ldots,d\ 上。定义 X = \sum i<j 1 [B i = B j]。 (a) 计算 Var (X)。 (b) 一个令人意外的中间步骤：证明对不同的 i,j,k， Cov ( 1 [B i = B j],\, 1 [B j = B k]) = 0，即使两个指示变量共享指标 j。直观解释为什么协方差为零。 (c) 当 d = 365、n = 28 时，数值计算 Var (X) 并给出变异系数 \sigma X / E[X]。概率困难derivation未尝试面试订阅157非均匀生日分布增加碰撞概率假设 d 天的生日概率为 p 1, p 2, \ldots, p d，\sum j p j = 1（不一定均匀）。n 人的生日独立取自该分布。 (a) 证明当 n = 2 时，P( 碰撞 ) = \sum j=1 d p j 2 \ge 1 d ，等号当且仅当所有 p j = 1 d 时成立。 (b) 由此推出均匀分布使碰撞概率最小化。用一句话直观解释为什么非均匀性会增加碰撞。概率中等derivation未尝试免费170在已有生日互异条件下下一位到来造成碰撞的概率设当前已经有 n 个生日，而且它们在 365 天日历上两两不同。现在再独立且均匀地加入一个新人的生日。这个新来的人造成精确撞生日的概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅183占位模型中的碰撞概率将5个可区分的球独立且均匀随机地投入12个可区分的盒子中。至少有两个球落入同一个盒子的概率是多少？给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费