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非代码面试题
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205用指示变量求超几何分布的均值与方差一个箱中有20个球：8红12蓝。不放回地抽取5个球，令 X 为抽到的红球数。定义指示变量 X i = 1 \ 第 i 次抽到红球 \ （i = 1, \ldots, 5）。 (a) 用期望的线性性求 E[X]。 (b) 计算 i \ne j 时的 Cov (X i, X j)，并由此推导 Var (X)。 (c) 验证当 N 且 K/N p 时，你的方差公式退化为二项分布方差 np(1-p)。概率困难derivation未尝试免费210多项分布的协方差与条件分布掷一个公平骰子 n = 60 次。令 X i 为面 i 出现的次数（i = 1, \ldots, 6），则 (X 1, \ldots, X 6) \sim Multinomial (60, 1/6, \ldots, 1/6)。 (a) 用指示变量计算 Cov (X 1, X 2)。 (b) 求相关系数 (X 1, X 2)。 (c) 确定在 X 1 = 12 条件下 (X 2, X 3, X 4, X 5, X 6) 的条件分布，并求 E[X 2 \mid X 1 = 12]。概率困难derivation未尝试免费219独立几何随机变量最大值的分布设 X 1, \ldots, X n 独立同分布 Geometric (p)，P(X i=k)=(1-p) k-1 p。令 M = \max(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M \le m) = [1-(1-p) m] n。 (b) 推导 P(M = m)。 (c) 利用尾和公式表达 E[M] 为无穷级数。 (d) n=2，p=1/2 时，计算 P(M=1), P(M=2), P(M=3) 并精确求 E[M]。 (e) 对一般 n 和小 p，启发式论证 E[M] \approx (\ln n)/p。概率困难derivation未尝试免费225独立几何随机变量的最小值设 X 1, \ldots, X n 独立，X i \sim Geometric (p i)（首次成功所需试验次数），定义 M = \min(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M > k) = \prod i=1 n (1-p i) k。 (b) 证明 M \sim Geometric (1- (1-p i))。 (c) iid 情形：求 E[M] 和 Var (M)，验证 n 时 E[M] 1。 (d) 五个独立交易员每天成交概率 0.3，求首次成交的期望天数和前 3 天无成交的概率。 (e) 证明 P(X j=M \mid M=m) 依赖于 j，对 n=2, p 1=0.3, p 2=0.5, m=2 计算。概率困难derivation未尝试免费285随机边着色中的单色团将完全图 K n 的每条边独立地以等概率 1 2 染为红色或蓝色。对给定整数 k \ge 2，求单色 k-团（所有 \binom k 2 条边颜色相同的 k 顶点完全子图）的期望个数。用 n 和 k 表示结果。概率困难derivation未尝试免费287扑克牌中的同点数对从标准 52 张扑克牌中均匀随机抽取 5 张。同点数对是指手牌中点数相同的无序二元组（例如两张 K）。求手牌中同点数对个数的期望值。概率简单数值题未尝试免费288随机图中的孤立顶点在 Erdos-Renyi 随机图模型 G(n,p) 中，n 个标记顶点之间的 \binom n 2 条可能的边各自独立地以概率 p 出现。孤立顶点是指没有边与之关联的顶点。求孤立顶点个数的期望值。概率中等derivation未尝试免费295随机排列中的循环数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。求 的循环分解中循环个数的期望值，将答案表示为 n 的一个常见函数。概率困难derivation未尝试免费296抛硬币中的正反面转换独立抛一枚公平硬币 n 次。位置 i（1 \le i \le n-1）处发生转换是指第 i 次和第 i+1 次结果不同（一次正面一次反面）。求转换次数的期望值。概率简单derivation未尝试免费297群体中的不同生日天数n 个人的生日各自独立且均匀地取自 365 天。若至少有一人在某天过生日，则称该天被占据。求被占据天数的期望值。概率简单derivation未尝试免费300两棵随机生成树的公共边设 T 1 和 T 2 是完全图 K n 的两棵独立均匀随机生成树（各自从所有 n n-2 棵标记生成树中等概率抽取，相互独立）。求同时属于 T 1 和 T 2 的边数的期望值。概率困难derivation未尝试免费301随机排列的下降数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的一个均匀随机排列。若 (i) > (i+1)，则称位置 i 为一个下降。下降个数的期望值是多少？概率简单数值题未尝试免费302排成一排的颜色匹配n 个人排成一排，每人独立且等概率地从红、绿、蓝三种颜色中选一种。相邻且选了相同颜色的对数的期望是多少？概率简单数值题未尝试免费303重复掷骰的匹配对数掷一枚均匀的 k 面骰子 n 次（独立）。设 M 为满足 1 \le i < j \le n 且第 i 次与第 j 次结果相同的对数。求 E[M]。概率中等derivation未尝试免费305独特选择与独特邻居对n 个人排成一排，每人独立且等概率地从 \ 1, 2, \dots, k\ 中选一个整数。若某人选的数没有任何其他人也选，则称该人是「独特的」。 (a) 用示性变量求独特人数的期望 E[U]。 (b) 若相邻的两人 (i, i+1) 都是独特的，则称之为一个「独特邻居对」。求独特邻居对数的期望 E[N]。概率困难derivation未尝试免费306排列中的中间位置设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。若 \min( (i-1), (i+1)) < (i) < \max( (i-1), (i+1))，则称位置 i \in \ 2, \dots, n-1\ 为中间位置。中间位置个数的期望是多少？概率简单数值题未尝试免费315随机抽取后的唯一类型数收集者从 n 种优惠券中独立均匀地随机抽取 m 张。若某种优惠券恰好被抽到一次，则称其为唯一类型（singleton）。求唯一类型个数的期望。概率困难derivation未尝试免费322掷骰子中的相邻匹配将一颗公平六面骰子独立掷 n 次，得到序列 D 1, D 2, \dots, D n。若 D i = D i+1 （1 \le i \le n-1），则称位置 i 发生了相邻匹配。求相邻匹配个数的期望。概率简单数值题未尝试免费323两个随机子集的重叠从 \ 1, 2, \dots, n\ 的所有 \binom n k 个大小为 k 的子集中，独立且均匀地随机选取两个子集 S 和 T（1 \le k \le n）。求交集大小 |S \cap T| 的期望。概率中等derivation未尝试免费324随机着色中的单色边将完全图 K n 的每个顶点独立地以概率 1/2 染红色或蓝色。若一条边的两个端点颜色相同，则称其为单色边。求单色边个数的期望。概率中等数值题未尝试免费