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非代码面试题
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245正态分布的最大熵性质连续随机变量 X（PDF 为 f）的微分熵为 h(X) = -\int - f(x) \ln f(x)\, dx。 (a) 在所有均值为 、方差为 2 的 R 上连续分布中，用拉格朗日乘数法说明最大化 h(X) 的 PDF 满足 \ln f(x) = -1 + \lambda 0 + \lambda 1 x + \lambda 2 x 2。 (b) 利用三个约束条件确定 \lambda 0, \lambda 1, \lambda 2，证明 f 为 N( , 2) 的 PDF。 (c) 计算 X \sim N( , 2) 的 h(X)。概率困难derivation未尝试免费246由独立正态推导瑞利分布设 X 和 Y 独立，均服从 N(0, 2)。定义 R = X 2 + Y 2 。 (a) 用 CDF 方法推导 R 在 r 0 上的 PDF。 (b) 指出该分布的名称并计算 E[R]。 (c) 当 = 1 时，数值计算 E[R] 和 Var (R)。概率简单derivation未尝试免费247作为泊松过程等待时间的 Erlang 分布到达过程服从速率为 > 0 的泊松过程。设 T k 为第 k 次到达的时刻。 (a) 利用 P(T k > t) = P(N(t) < k)（其中 N(t) \sim Poisson ( t)），写出 T k 的 CDF 并求导得到 PDF。 (b) 指出该分布的名称，给出均值和方差。 (c) 当 = 1，k = 3 时，精确计算 P(T 3 > 2)。概率简单数值题未尝试免费248高斯混合的均值、方差与双峰性随机变量 X 服从两个正态的混合分布：以概率 p 从 N(\mu 1, \sigma 1 2) 抽样，以概率 1-p 从 N(\mu 2, \sigma 2 2) 抽样。 (a) 用 p, \mu 1, \mu 2, \sigma 1 2, \sigma 2 2 表达 E[X] 和 Var (X)。 (b) 在对称情形（p = 1/2，\sigma 1 = \sigma 2 = ）下，证明混合 PDF 为双峰当且仅当 |\mu 1 - \mu 2| > 2 。 (c) 当 p = 1/2，\mu 1 = -2，\mu 2 = 2， = 1 时计算 E[X] 和 Var (X)，并验证双峰性。概率中等derivation未尝试免费249均匀分布的顺序统计量：最小值、最大值与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量，X (1) 为最小值，X (n) 为最大值。 (a) 推导 X (1) 和 X (n) 的 PDF。 (b) 计算 E[X (1) ] 和 E[X (n) ]。 (c) 极差 W = X (n) - X (1) ，当 n = 5 时计算 E[W]。概率中等数值题未尝试免费250折叠正态分布：|X| 的 PDF 与矩设 X \sim N( , 2)， 0。定义 Y = |X|。 (a) 推导 Y 在 y 0 上的 PDF。 (b) 证明 = 0 时 PDF 化简为半正态分布。 (c) 对一般的 , ，用 \phi 和 \Phi 表示 E[Y] 和 Var (Y)。 (d) 当 = 1， = 1 时数值计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率困难derivation未尝试免费376均匀随机变量的立方的分布设 X \sim Uniform (0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 3 的概率密度函数。概率简单derivation未尝试免费377均匀变量取指数后的分布（雅可比方法）设 X \sim Uniform (0,1)。利用换元（雅可比）公式求 Y = e X 的概率密度函数。概率简单derivation未尝试免费378两个独立均匀变量之和的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用卷积公式推导 Z = X + Y 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费379两个指数变量最大值的分布与期望设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 M = \max(X,Y)。 (a) 推导 M 的概率密度函数。 (b) 计算 E[M]。概率中等数值题未尝试免费380两个独立指数变量之比的分布设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 R = X/Y。 (a) 利用变换 (R,S) = (X/Y,\,Y)，通过雅可比行列式求 f R,S ，再对 S 积分得到 R 的 PDF。 (b) 将 f R 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 P(R \le 1)。概率困难derivation未尝试免费381均匀变量取负对数得到指数分布设 X \sim Uniform (0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = -\ln X 的概率密度函数，并识别所得分布。概率简单derivation未尝试免费382标准正态变量的平方服从卡方(1)分布设 X \sim N(0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 2 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费383指数变量的倒数变换设 X \sim Exp (1)，令 Y = \dfrac 1 1+X 。 (a) 利用换元公式推导 Y 的概率密度函数。 (b) 计算 E[Y]。概率中等derivation未尝试免费384两个独立均匀变量乘积的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用变换 (W,V)=(XY,\,Y)，推导 W = XY 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费385Box-Muller 变换：从均匀到独立正态设 U 1, U 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，定义 Z 1 = -2\ln U 1 \,\cos(2 U 2),\quad Z 2 = -2\ln U 1 \,\sin(2 U 2). (a) 计算从 (Z 1,Z 2) 到 (U 1,U 2) 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 Z 1 和 Z 2 是独立的 N(0,1) 随机变量。概率困难derivation未尝试免费386正态随机变量的仿射变换设 X \sim N( , 2)，a 0，b \in R 。利用雅可比公式证明 Y = aX + b 服从正态分布，并给出其参数。概率简单derivation未尝试免费387概率积分变换（逆 CDF 方法）设 F X 为连续严格递增的 CDF，U \sim Uniform (0,1)。证明 Y = F X -1 (U) 的 CDF 为 F X。 反之，证明若 X 的 CDF 为 F X，则 F X(X) \sim Uniform (0,1)。概率简单derivation未尝试免费388Beta 变量的比值变换得到 Beta prime 分布设 X \sim Beta (a,b)，a,b>0。利用换元公式推导 Y = X/(1-X) 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费389独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布设 X \sim Gamma ( ,1)，Y \sim Gamma ( ,1) 独立。利用变换 (W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 f W,S 并对 S 积分，证明 W \sim Beta ( , )。 (c) 证明 W 与 S 独立。概率困难derivation未尝试免费