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非代码面试题
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5967加倍策略与可选停止的失效一个赌徒初始净值 0，在一列公平硬币上做公平的 1 加倍下注（先押 1，再 2，再 4，...），在首次赢一局时停止（保证净赢 +1）。设 T 为该停时。求 E[T 时刻的净财富]，并说明它是否如朴素可选停止所暗示的等于时刻 0 的净值。概率中等数值题未尝试免费5968等待模式 HTHH 的时间反复抛掷一枚公平硬币。用鞅（赌徒团队）方法，求首次出现模式 H、T、H、H 所需抛掷次数的期望。概率中等数值题未尝试免费5970选票问题的鞅解法选举中候选人 A 得 7 票、B 得 3 票；这 10 张票以均匀随机顺序计数。用鞅/可选停止方法，求在整个计票过程中 A 始终严格领先 B 的概率。概率困难数值题未尝试面试订阅5971有偏赌徒破产的期望时长一条游走从 2 出发，以概率 2/3 向右走 1、以概率 1/3 向左走 1，触 0 或 5 时停止。先求它在 5 处退出的概率，再用线性漂移鞅求期望时长 E[T]。概率困难数值题未尝试面试订阅5973含平局停留的破产时长分数从 3 出发，每一轮以概率 0.3 加 1、以概率 0.3 减 1、以概率 0.4 保持不变（平局）。当分数首次达到 0 或 8 时游戏结束。求游戏结束所需轮数的期望。概率中等数值题未尝试免费5976破产前到达的期望最高值公平简单随机游走从 2 出发，首次触 0 或 5 时被吸收。设 H 为游走整条路径上到达的最高水平（吸收时的运行最大值）。求 E[H]。概率困难数值题未尝试面试订阅5977对乘积鞅的可选停止设 X 1, X 2, ... 为独立同分布的公平 +-1 步，定义乘积 P n = prod i=1 n (1 + (1/2) X i)，P 0 = 1。设 N 为任意几乎必然有限的停时。把 P n 视为鞅，求 E[P N]。概率中等数值题未尝试免费5978惰性有偏游走的首次穿越概率一条惰性游走从 1 出发。每步以概率 0.3 加 1、以概率 0.2 减 1、以概率 0.5 保持不变。首次到达 +4 或 -4 时停止。求它在 +4 退出的概率。概率中等数值题未尝试免费5979含非吸收障壁的三水平退出公平简单随机游走从 0 出发。标记三个水平：-3、+2、+6。只有两个极端水平 -3 与 +6 是吸收的，游走可自由穿过 +2。求游走在 -3 被吸收的概率，以及期望吸收值 E[S T]。概率困难数值题未尝试面试订阅5980含休息期的随机游走一个过程按轮进行。每一轮独立地：以概率 1/2 休息（位置不变），以概率 1/2 走一步（等概率 +1 或 -1）。当走者完成第 8 次真实（非休息）步时，在该轮停止。设 S 为此停止时刻的位置。求 E[S 2]。概率中等数值题未尝试免费5981直到首次掷出 6 为止的总投入你反复掷一枚公平骰子，直到第一次出现 6 为止；记 N 为掷骰次数（含成功的那一次）。每次掷骰你独立获得收益 X i，其中 E[X i]=1.5，各 X i 独立同分布且与骰子点数独立。求 E\! [\sum i=1 N X i ]。概率简单derivation未尝试免费5982二项个报价上成交的方差在 n=10 个挂单报价中，每个独立地以概率 0.3 成交，故成交数 N 服从 Binomial(10,0.3)。每笔成交产生独立同分布盈亏 X i，满足 E[X i]=2、 Var (X i)=9，且与哪些报价成交独立。对停和 S N=\sum i=1 N X i，求 Var (S N)。概率中等derivation未尝试免费5983越过盈利目标所需的交易笔数某策略记录独立同分布的正利润 X 1,X 2,\dots，满足 E[X i]=2.5。记 N 为累计总额 S n=\sum i=1 n X i 首次严格超过 10 的时刻，即 N=\min\ n:S n>10\ 。已知 E[N]< 且越过后的期望总额为 E[S N]=14。用 Wald 风格的恒等式求 E[N]。概率中等derivation未尝试免费5984直到首件次品为止的期望检验成本某质检线逐件检验产品；每件独立地以概率 0.05 为次品。检验在首件次品处停止。每次检验（无论是否次品）的成本为独立同分布的 C i，满足 E[C i]=\8，且与次品结果独立。记 N 为已检验件数，求期望总检验成本 E\! [\sum i=1 N C i ]。概率简单数值题未尝试免费5985负漂移下的期望累计滑点某做市台每笔交易承担独立同分布的逆向选择成本 X 1,X 2,\dots，满足 E[X i]=-0.4（每笔净亏损）。一个交易时段的交易笔数 N 与成本独立，服从均值为 15 的泊松分布。求期望累计成本 E\! [\sum i=1 N X i ]。概率简单derivation未尝试免费5986随机笔数下注的期望盈利一位赌徒下注直到某随机停止规则终止游戏；下注笔数 N 是对独立同分布下注结果而言的停时，且 E[N]=8。每笔下注的净结果 X i 独立同分布，满足 E[X i]=-0.05（每单位注金 5\% 的庄家优势，注金为单位），且在第 n 笔后是否停止仅依赖于前 n 笔的结果。求赌徒的期望总盈利 E\! [\sum i=1 N X i ]，并说明在 E[N]=8 的约束下是否存在能使其为正的停止规则。概率中等derivation未尝试免费5987当停止规则盯着最后一次抽取独立同分布地抽取 X 1,X 2,\dots，在 \ 1,2,3\ 上均匀（故 E[X i]=2）。定义 N 如下：持续抽取直到首次抽到 3 时停止，N 为抽取次数。令 S N=\sum i=1 N X i。某候选人计算 E[N]E[X 1]=3 2=6 并断言 E[S N]=6。求 E[S N] 的正确值，并用一句话解释为何此处需谨慎看待逐项条件均值。概率困难essay未尝试面试订阅5997未知状态下的期望计数在任意一天，市场以概率 0.5 处于「平静」状态，此时新闻事件以速率每小时 6 次的泊松过程到达；或以概率 0.5 处于「繁忙」状态，速率为每小时 14 次。观测当天之前你并不知道状态。求 1 小时窗口内新闻事件数的期望。概率中等数值题未尝试免费6009两小时内的预期大宗交易数成交以速率 =30/小时 的泊松过程打印。每笔成交独立地以概率 0.15 为大宗（block）交易。未来 2 小时内大宗交易的期望数量是多少？概率简单derivation未尝试面试订阅6010没有订单路由到场所 C订单以速率 =20/分钟 的泊松过程到达，并独立地以概率 0.5、0.25、0.25 路由到场所 A、B、C。未来 6 秒内场所 C 没有收到任何订单的概率是多少？概率中等derivation未尝试面试订阅