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非代码面试题
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464Gamma 样本均值对数的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Gamma (2,1)（E[X i]=2， Var (X i)=2）。定义 W n = \ln( X n)。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (W n - \ln 2) 的渐近分布。 **(b)** n = 200 时，近似 P(W n < 0.6)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(-1.86) \approx 0.0314。概率困难derivation未尝试免费465均匀随机变量和的 Berry-Esseen 界设 U 1, \ldots, U n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，S n = U i。Berry-Esseen 定理给出 \sup x |P((S n - n/2)/( n ) \le x) - \Phi(x)| \le C /( 3 n ), 其中 C \le 0.4748。 **(a)** 精确计算 = E[|U i - 1/2| 3]。 **(b)** 求 n=50 时的 Berry-Esseen 界。 **(c)** n 至少多大才能使界低于 0.01？概率困难derivation未尝试免费466选举民调误差范围的 CLT 估计民调调查 n = 1600 名选民以估计支持率 p = 0.5。用 CLT 近似 P(| p - 0.5| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率简单数值题未尝试免费467对称随机游走位移的 CLT 近似粒子进行对称随机游走：每步 X i = \pm 1（等概率），独立。n=400 步后位置 S 400 = X i。 **(a)** LLN 对 S n/n 有何保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P(S 400 > 10)。 可使用 \Phi(0.50) \approx 0.6915。概率中等数值题未尝试免费468保险索赔总量的 CLT 近似保险公司有 300 个独立保单持有人，每人每年索赔次数 \sim Poisson (3)。设 T = N i 为总索赔次数。 用 CLT 近似 P(T > 960)。 可使用 \Phi(2.00) \approx 0.9772。概率中等数值题未尝试免费469随机乘数几何平均的 LLN 和 CLT投资每年乘以随机因子 X i（i.i.d.），P(X i=2)=P(X i=4)=1/2。n 年后年化增长因子为几何平均 G n = ( X i) 1/n 。 **(a)** 求 \lim n G n（a.s.）。 **(b)** n=100 时，用 CLT 近似 P(G 100 > 3)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\ln 3 \approx 1.0986，\Phi(1.70) \approx 0.9554。概率困难derivation未尝试免费470样本中位数的渐近分布设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，M n 为样本中位数。渐近理论给出 n (M n - m) \xrightarrow d N(0, 1/(4[f(m)] 2))。 **(a)** 对 Uniform (0,1)，求 m、f(m) 及渐近方差。 **(b)** n=400 时，近似 P(M 400 > 0.54)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费471二项分布尾部与连续性修正公平硬币抛 n=144 次，S 为正面次数。 **(a)** 不带连续性修正，用 CLT 近似 P(S \ge 80)。 **(b)** 带连续性修正重复。 可使用 \Phi(1.33) \approx 0.9082，\Phi(1.25) \approx 0.8944。概率简单数值题未尝试免费472给定估计精度的最小样本量随机变量 X 均值 =5，标准差 =2。观测 n 个独立副本。 用 CLT 求最小 n 使得 P(| X n - 5| > 0.3) < 0.05。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975。概率简单数值题未尝试免费473等权组合负收益概率的 CLT 估计等权组合含 n=50 只股票，各自年化收益独立， =0.08， =0.20。组合收益 R = 1 50 R i。 **(a)** LLN 对 R 的保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P( R < 0)。 可使用 \Phi(2.83) \approx 0.9977。概率中等数值题未尝试免费474尾部概率保证的最小样本量设 X i 为 i.i.d. Exp (1)。设计师要求 P( X n > 1.1) < 0.01。 用 CLT 求满足条件的最小 n。 可使用 \Phi(2.33) \approx 0.9901。概率中等数值题未尝试免费475Slutsky 定理与估计方差下的 CLT设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d.（均值 ，方差 2），S n 2 为样本方差，T n = n ( X n - )/S n。 **(a)** 用 LLN 和 Slutsky 定理证明 T n \xrightarrow d N(0,1)。 **(b)** n=100， X =12.5，S=3.0，\mu 0=12。近似 P( X >12.5)。 可使用 \Phi(1.67) \approx 0.9525。概率困难derivation未尝试免费590带权报价止停规则 5你最多可以观察 3 个独立报价。每次报价的分布为：0 的概率是 1/4，4 的概率是 1/4，7 的概率是 1/4，12 的概率是 1/4。若拒绝当前报价并继续，则要付出 1 点成本；若来到最后一次抽取，则必须接受。问第一轮的最优接受阈值是什么，且对应的最优期望净收益是多少？概率困难derivation未尝试免费597继续价值校准 2交易员最多可以观察 3 个独立候选成交，取值支持为 [1, 4, 8, 11]，对应概率为 ['1/4', '1/4', '1/4', '1/4']。拒绝当前成交并继续要付出 1 点成本。问第一轮里从哪个观测值开始应当接受，以及整体最优期望净值是多少？概率简单数值题未尝试免费1439对数序列的二阶修正极限计算极限 lim n->∞ n 2 [ln(1+1/n) - 1/n]。数学困难数值题未尝试面试订阅1445乘积对数表达式的二阶极限计算极限 lim x->0 [ (1+x)ln(1+x) - x ] / x 2。数学困难数值题未尝试面试订阅1456压缩二阶递推极限 1一个序列满足 x (n+2) = 1/4 x (n+1) + 1/5 x n + 3。若该序列收敛，则其极限必然是多少？数学简单数值题未尝试免费1467重复块幂级数 2令 a n 按照块 [2, -1] 无限重复。求 sum (n=1) inf a n * (1/4) n。数学中等derivation未尝试免费1469重复块幂级数 4令 a n 按照块 [1, 2, 0, 1] 无限重复。求 sum (n=1) inf a n * (1/2) n。数学困难derivation未尝试免费1476地板截断积分 1计算 integral 0 1 max(x, 1/5) dx。数学简单derivation未尝试免费