面试练习

一个 3 人代表团中，主席 H 已经固定，另外两人从其余 6 人中等概率选出。那 6 人中恰有一对是被禁止同时出现的死对头。最终代表团不包含这对死对头的概率是多少？

一个机器人从 (0,0) 走到 (5,3)，总共要走 5 步向右和 3 步向上，顺序任意。共有多少条路径会恰好经过两个检查点 A=(2,1) 与 B=(4,2) 中的一个？

在字母表 L, M, H 上构造长度为 6 的字符串。要求三个字母都至少出现一次，并且 5 个相邻位置里恰好只有 1 对相等。这样的字符串有多少个？

一个负载均衡器将 4 个独立作业分配给 3 台服务器 \ S 1, S 2, S 3\ 。服务器 S 1 已预先分配了一个作业。每个新作业的路由分两阶段进行：先抛一枚 P( 正面 ) = \tfrac 1 2 的硬币；若正面则分配到 S 1，若反面则等概率分配到 S 2 或 S 3（即 P(S 2) = P(S 3) = \tfrac 1 4 ）。如果某台服务器承载 4 个或更多作业（S 1 需计入预分配的那个），则称其「过载」。构造 4 个路由结果的样本空间，并求 P( 至少一台服务器过载 )。

一个 5 天的信号路径只使用 B, S, H 三种状态。若要求相邻两天之间恰好发生 2 次状态切换，并且最后一天的状态与第一天不同，这样的路径有多少条？

在一个风险系统中，三种警报 A、B、C 可同时触发。从历史日志可知： - P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，P(C) = 0.3， - P(A \cap B) = 0.2，但 P(A \cap C) 和 P(B \cap C) 未知， - P( 三种警报均未触发 ) = 0.1， - P( 恰好一种触发 ) = 0.7。 求 P(A \cap B \cap C) 和 P( 恰好两种触发 )，并展示所有步骤。

5 个有标号任务被分配到 A、B、C 三个有标号桌面。任务 1 被强制分配到 A。问至少每个桌面都被用到一次的分配方式有多少种？

一座易受洪水侵袭的小镇由三级单向人行桥相连。第 1 级有 2 个出发点（S 1, S 2），第 2 级有 3 个中转岛（I 1, I 2, I 3），第 3 级有 2 个目的地（D 1, D 2）。桥梁为：S 1 I 1、S 1 I 2、S 2 I 2、S 2 I 3；以及 I 1 D 1、I 2 D 1、I 2 D 2、I 3 D 2。难民的路线是沿现有桥梁行走的路径 S i I j D k。若从所有合法路线中等概率地随机选取一条，求 P( 路线经过 I 2 \mid 难民到达 D 1)。

从 \ A, B, C, D, E, F\ 中独立等概率选取每个字符，生成一个长度为 5 的访问码（允许重复）。该码仅在它是回文（正读与反读相同）时被接受。在所有回文码中，求 P( 码中至少出现 3 种不同符号 )。

罐中有编号 1,2,3,4,5,6 的令牌各一枚。依次抽取两枚（有放回，考虑顺序）。构造样本空间，并求 P( 两次抽取编号之积是 6 的倍数但不是 12 的倍数 )。

用 R, G, B, Y 这 4 种颜色给 6 个储物柜上色。要求某一种颜色出现 3 次、另一种出现 2 次、第三种出现 1 次、最后一种完全不出现，并且第一个与最后一个储物柜颜色不同。这样的着色共有多少种？

从 0,1,2,3,4,5,6,7,8 中选出互不相同的有序三元组 (a,b,c)。满足 a+b+c ≡ 1 (mod 3) 且 max(a,b,c) > 5 的三元组共有多少个？

集合 1,2,...,8 的排列中，在位置 1、2、3 上都没有固定点的有多少个？

从集合 1,2,...,10 中取 4 个数。恰好只有一对相邻整数的 4 元子集有多少个？

在一个两阶段实验中，首先从 \ 1, 2, 3, 4, 5, 6\ 中不放回抽取 2 个数，然后独立地从 \ 1, 2, 3, 4, 5\ 中等概率抽取 1 个数。设 P 为三个数的乘积。求 P(6 \mid P)，即乘积被 6 整除的概率。

一场循环赛中，5 名选手被随机分配到 5 个棋盘（每人一个，所有 5! 种分配等概率）。棋盘编号 1 到 5 排成一圈（编号 6 回绕为 1）。选手 i 的「舒适区」为棋盘 i 和棋盘 i + 1（循环定义：选手 5 的舒适区为 \ 5, 1\ ）。组织者希望每位选手都不在自己的舒适区。求 P( 没有任何选手被分配到其舒适区内的棋盘 )。

第一轮从 \ 1, 2, 3, 4\ 中独立等概率有放回抽取 3 个数；第二轮从 \ 3, 4, 5, 6\ 中独立等概率有放回抽取 2 个数。两个取值池在 \ 3, 4\ 处重叠。在全部 5 次抽取中，求 P( 恰好有一个值出现多于一次，且该值恰好出现两次 )。用最简分数表示。

一笔贷款先验上有 0.3 的概率是坏账。筛查 A 对坏账的命中率是 0.8，对健康贷款的误报率是 0.1。任何被 A 标记的贷款都会再进入筛查 B；B 对坏账的通过率是 0.25，对健康贷款的通过率是 0.70。若现在观察到“被 A 标记、但未通过 B”，这笔贷款是坏账的后验概率是多少？

某个信号对假设 H 相对于非 H 的似然比是 5。要让看到这个信号之后的后验概率恰好等于 1/2，H 的先验概率 p 应该是多少？

某零件来自工厂 A 的先验概率是 0.6，否则来自工厂 B。工厂 A 的次品率是 0.1，工厂 B 的次品率是 0.4。现在从同一家未知工厂抽检 2 个零件，结果恰好 1 个是次品。求这两件零件来自工厂 A 的后验概率。