模块2.7.1 · 数学与统计能力 · 随机分析
布朗运动与伊藤积分
stochastic-calculus · brownian-motion · random-walk · donsker · gaussian-increments · filtration · martingale · quadratic-variation
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中文题目模块2.7.2 · 数学与统计能力 · 随机分析
鞅与风险中性定价
stochastic-calculus · martingale · filtration · conditional-expectation · discrete-time · stopping-time · optional-stopping · brownian-motion
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伊藤公式与随机微分方程
钩子：周五下午两点四十分，私募衍生品桌上的一个数 周五下午两点四十分，你在一家沪深300指数增强私募的衍生品桌上，手里挂着一张以 300ETF 期权（300ETF options）对冲的指数风险敞口。模拟引擎用几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）跑了 10 万条 60 个交易日的路径，你发现一个让人不安的现象：输入的年...
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离散时间鞅
周一上午十点，深圳一家私募的量化研究员盯着一份十年期回测：她构造的多空对冲组合（long short hedge）净值在零附近来回游走，最大回撤不到 3%，平均年化收益接近零。同事质疑「这条线随机得不像策略」。她想用一个数学对象精确刻画「下一步的期望就是当前位置」这种公平博弈（fair game）的特性——而不只是把它当噪声打发掉。这正是本节的主角：离散时间...
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连续时间鞅与停时
风控线触发的那一秒 某私募量化部门给挂在沪深300 ETF 上的 50ETF 期权做市账户加了一条风控规则：当标的价格相对当日开盘价漂出 公式 这条区间任意一边，立即砍平整套 Delta 头寸。研究员被风控负责人追问的第一个数字不是收益，也不是 IV，而是「以波动率 公式 计，价格先触上沿的概率是多少？平均要经过多少秒触出？」这两个量都不是布朗运动（Brow...
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从随机游走到布朗运动
上海某私募的量化研究员在白板上为沪深300 指数搭一个日内连续时间价格模型。她先画出一条平滑、处处可微的候选价格曲线 公式，立刻被同事打断：「只要 公式 处处可微，你看到斜率为正的时刻就买入、转负就卖出，几秒内便能锁定无风险收益——这与无套利冲突。」结论是，连续时间随机模型背后的噪声源 必须连续，但处处不可微 。本节按 龚光鲁《随机微分方程引论》的顺...
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伊藤积分的构造
钩子：公式 究竟在写什么？ 上海某量化私募的衍生品研究组周一例会上，桌上摆着一份连续时间 Delta 对冲方案的初稿：策略对沪深300 股指期货持有动态头寸 公式，结算时账上的对冲腿累计盈亏被写成 公式。主管把上一课的笔记翻到边角，红笔划了一行——只要 公式 在背后由布朗运动（Brownian motion）公式 驱动，几乎每条样本路径的总变差（total ...
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几何布朗运动与量化金融应用
路演桌上的两条收益率 周三下午，沪深300 量化对冲产品的路演会。某私募管理人把净值幻灯片翻到第四页：年化预期收益 8%，年化波动率 40%。代销渠道的合规突然问：「按这个预期收益，投资者持有三年的中位数到底是多少？」管理人愣了三秒。这正是几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）在路演桌上现形的瞬间——算术意义的期望收益与...
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布朗运动的性质与路径
钩子：沪深300期货上的已实现方差 周五尾盘，你坐在某 CTA 私募的随机分析席位上。组合在 CFFEX 的 IF（沪深300股指期货）主力合约上挂着一笔做市头寸，每周一你都会把上周 5 分钟对数收益逐项平方后求和，再与上周五收盘隐含的方差对比。经验上这条规律相当锐利：那个求和稳定在「已实现方差 × 经过时长」上，从 5 分钟切到 1 分钟、再切到逐笔，收敛...
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等价测度与 Girsanov 定理
周五下午,你在一家以沪深300股指期货(CFFEX 主力 IF 合约)为底层的私募(private fund)结构化产品桌上,把一份新发产品交给定价引擎。模型里标的的年化预期收益率 公式 没有出现在最终定价里——程序读到的是无风险利率 公式。隔壁桌的一个同事在白板上写下 公式,说「Girsanov 把 公式 换成了 公式」。这一节要把这条变换从测度论开始拆开...
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鞅表示定理与风险中性视角下的 Black-Scholes
周一早盘的两张价表 周一早上九点二十，一家做股指增强的私募衍生品桌。前四节课你已经把测度从 公式 换到了 公式，把沪深300股指期货（CFFEX IF 主力合约）的无套利价格写成了 公式。现在风控来催价表：上证 50ETF 期权的平值合约要在十分钟后挂出做市报价。第 4 课的风险中性（risk neutral）公式告诉了你期望的形式，却留下两个未结清的缺口：...
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风险中性定价与资产定价基本定理
风险中性测度不是世界,它是估价工具 周四收盘前的最后一小时,你在某私募衍生品桌上挂着一份内嵌结构化产品,挂钩沪深300 股指期货 (CFFEX 主力合约 IF) 与上证50ETF 期权 (SSE 50ETF) 的组合敞口。基金经理跑过来问:「这张内嵌期权,我们今晚要不要按交易对手报的价格出货?他们的价格合理吗?」第三课里你已经看过 Girsanov 怎么把真...
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Martingale Diagnosis Counterexample 2
M_n = X_(n+1)-p for iid Bernoulli(p) variables with natural filtration F_n. Is (M_n) a martingale?
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Predictable-Transform Martingale 1
M_n = sum_(k=1)^n S_(k-1) * X_k, where X_k are iid symmetric ±1 and S_(k-1)=X_1+...+X_(k-1). Is (M_n) a martingale with respect to the natural filtration?
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Predictable-Transform Martingale 2
M_n = sum_(k=1)^n (1+S_(k-1)^2) * X_k, where X_k are iid symmetric ±1. Is (M_n) a martingale with respect to the natural filtration?
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Predictable-Transform Martingale 3
M_n = sum_(k=1)^n 1{S_(k-1)>0} * X_k for a symmetric ±1 walk. Is (M_n) a martingale with respect to the natural filtration?
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Predictable-Transform Martingale 4
M_n = sum_(k=1)^n (2+(-1)^k) * X_k with iid symmetric ±1 X_k. Is (M_n) a martingale with respect to the natural filtration?
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Terminal-Variable Projection 1
Let X_1, X_2, X_3, X_4 be iid symmetric ±1 variables with natural filtration F_n. Define Y = 1{X_1+X_2+X_3 >= 2} and M_n = E[Y | F_n]. Is (M_n) a martingale?
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Terminal-Variable Projection 2
Let X_1, X_2, X_3, X_4 be iid symmetric ±1 variables with natural filtration F_n. Define Y = 1{X_1+X_2+X_3+X_4 = 0} and M_n = E[Y | F_n]. Is (M_n) a martingale?
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Terminal-Variable Projection 3
Let X_1, X_2, X_3, X_4 be iid symmetric ±1 variables with natural filtration F_n. Define Y = 1{max(X_1,X_2,X_3) = 1} and M_n = E[Y | F_n]. Is (M_n) a martingale?
打开 →题目634 · 概率
Terminal-Variable Projection 4
Let X_1, X_2, X_3, X_4 be iid symmetric ±1 variables with natural filtration F_n. Define Y = X_1+X_2+X_3+X_4 and M_n = E[Y | F_n]. Is (M_n) a martingale?
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Terminal-Variable Projection 5
Let X_1, X_2, X_3, X_4 be iid symmetric ±1 variables with natural filtration F_n. Define Y = (X_1+X_2+X_3)^2 and M_n = E[Y | F_n]. Is (M_n) a martingale?
打开 →题目2919 · 概率
The Standard Branching Martingale
Let $m>0$ be the offspring mean in a Galton-Watson process. Show that \[ M_n=\frac{Z_n}{m^n} \] is a martingale with respect to the natural filtration.
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