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独立同分布地抽取 $X_1,X_2,\dots$，在 $\{1,2,3\}$ 上均匀（故 $E[X_i]=2$）。定义 $N$ 如下：持续抽取直到首次抽到 $3$ 时停止，$N$ 为抽取次数。令 $S_N=\sum_{i=1}^N X_i$。某候选人计算 $E[N]E[X_1]=3\cdot 2=6$ 并断言 $E[S_N]=6$。求 $E[S_N]$ 的正确值，并用一句话解释为何此处需谨慎看待逐项条件均值。

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题目5932 · 概率

抓住最后一个成功

五个交易依次出现。每个交易独立地以概率 0.2 为“有效”（否则为“无效”）；交易出现时你立即得知有效/无效，并须不可撤回地接受或放弃，不可回取。当且仅当你接受了五个交易中的最后一个有效交易时获胜。用此类问题的赔率算法逻辑（从末端起累加赔率 r_i = p_i/(1-p_i)，直到累计首次达到 1，从该位置起接受任何有效交易），求最优停止位置及获胜概率。

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题目5929 · 概率

按次付费且可回取

你可以抽取任意多个独立的 Uniform(0,1) 值，每抽一次支付成本 c。允许回取，故任何时刻你都可停止并收取迄今所见最大值。对 c = 0.125，求最优停止规则（停止的保留水平 r）以及期望净收益（所收最大值减去总抽样成本）。

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题目674 · 概率

放缩步长退出时间 2

一条公平随机游走从 4 出发，每一步以相等概率向右走 4 或向左走 4。它在首次达到 0 或 16 时停止。停止时间的期望是多少？

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题目5964 · 概率

波利亚罐的极限比例

一个罐子初始有 1 红 2 蓝。每步均匀随机抽一球，观察后连同一个同色球一起放回。设 R_n/T_n 为 n 次抽取后红球比例。该比例是有界鞅，收敛到极限 L。用可选停止/鞅收敛，求 E[L]。

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题目5963 · 概率

由可选停止得到 Wald 恒等式

设 X_1,X_2,... 独立同分布，均值为 4；设 N 是关于这些 X 的停时，且 E[N]=10。利用鞅 M_n = sum_{i<=n} X_i - 4n 与可选停止，求 E[X_1+...+X_N]。

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题目5970 · 概率

选票问题的鞅解法

选举中候选人 A 得 7 票、B 得 3 票；这 10 张票以均匀随机顺序计数。用鞅/可选停止方法，求在整个计票过程中 A 始终严格领先 B 的概率。

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题目480 · 概率

通过补偿鞅求击中时间方差

马尔可夫链在 $\{0,1,2,3\}$ 上，从 $i$（$0<i<3$）以概率 $2/3$ 跳至 $i+1$，$1/3$ 跳至 $i-1$。$0$ 和 $3$ 吸收。令 $T = \inf\{n: X_n \in \{0,3\}\}$。 (a) 用鞅 $M_n = X_{n\wedge T} - (p-q)(n\wedge T)$ 和 OST 求 $E[T \mid X_0=2]$。 (b) 用鞅 $N_n = M_n^2 - 4pq(n\wedge T)$ 求 $\mathrm{Var}(T \mid X_0=2)$。 (c) 用一步分析验证 $E[

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题目3214 · 概率

随机停止下中心化滑点方差

设 $X_1,X_2,\dots$ 为独立同分布随机变量，均值为 $\mu$、方差为 $4$。再设 $N$ 与这些增量独立，且服从 Geometric(\frac{1}{3})。对中心化停和 $M_N=\sum_{i=1}^N (X_i-\mu)$，求 $E[M_N^2]$。

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题目5986 · 概率

随机笔数下注的期望盈利

一位赌徒下注直到某随机停止规则终止游戏；下注笔数 $N$ 是对独立同分布下注结果而言的停时，且 $E[N]=8$。每笔下注的净结果 $X_i$ 独立同分布，满足 $E[X_i]=-0.05$（每单位注金 $5\%$ 的庄家优势，注金为单位），且在第 $n$ 笔后是否停止仅依赖于前 $n$ 笔的结果。求赌徒的期望总盈利 $E\!\left[\sum_{i=1}^N X_i\right]$，并说明在 $E[N]=8$ 的约束下是否存在能使其为正的停止规则。

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题目490 · 概率

非对称链上的鞅构造求击中时间

四状态链 $\{0,1,2,3\}$：$p(1,0)=1/3, p(1,2)=2/3, p(2,1)=1/2, p(2,3)=1/2$。$0$ 吸收，$3$ 反射（$p(3,2)=1$）。$T=\inf\{n: X_n=0\}$。(a) 构造鞅 $M_n=f(X_{n\wedge T})-(n\wedge T)c$ 求 $E[T|X_0=2]$。(b) 类似方法求 $\text{Var}(T|X_0=2)$。

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题目506 · 概率