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非代码面试题
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2856高斯跳幅的复合泊松和设 N\sim Poisson ( )，并且 Y 1,Y 2,\dots 相互独立同分布，服从 N( , 2)，且与 N 独立。对 \[ S=\sum k=1 N Y k, \] 求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2857双波动率混合并不是高斯分布收益 R 在条件上服从高斯分布： \[ R\mid V= \sim N(0, 2), \] 其中 V 以各 1/2 的概率取 1 或 2。求 R 的特征函数，并说明为什么 R 本身不是高斯分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2858从特征函数识别 Laplace 分布设某个中心化随机变量的特征函数为 \[ \phi X(u)= 1 1+b 2u 2 . \] 识别 X 的分布，并给出其存在区间上的 MGF。概率中等derivation未尝试面试订阅2859指数样本均值的 MGF设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的指数随机变量，率参数为 ，并记 \[ X n= 1 n \sum i=1 n X i. \] 求 X n 的 MGF，并由此恢复 E[ X n] 和 Var ( X n)。概率中等derivation未尝试面试订阅2860均匀收益冲击的特征函数设 X\sim Uniform [-a,a]。求它的特征函数，并由该变换恢复 Var (X)。概率中等derivation未尝试面试订阅2861为什么两个独立拷贝之差天然对称设 X 和 Y 相互独立且同分布，特征函数为 \phi(u)。证明 D=X-Y 的特征函数为 |\phi(u)| 2，并据此说明 D 关于 0 对称。概率中等derivation未尝试面试订阅2862联合 MGF 可分解意味着独立设 \[ M X,Y (s,t)=\exp\! (s+2t+ s 2 2 +2t 2 ). \] 识别 X 与 Y 的边缘分布，并判断它们是否独立。概率中等derivation未尝试面试订阅2863带批量大小的复合泊松订单流成交笔数满足 N\sim Poisson ( )。每笔成交对应一个批量大小 B，其取值为 0,1,2，概率分别为 1/2,1/3,1/6，并且不同成交之间以及与 N 之间都相互独立。记 \[ S=\sum k=1 N B k. \] 求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2864指数随机强度对应几何计数潜在强度 \Lambda 服从率参数为 的指数分布。在给定 \Lambda 的条件下，计数变量 N 服从 Poisson (\Lambda)。用 MGF 判断 N 的无条件分布，并计算 E[N]。概率中等derivation未尝试面试订阅2865没有 MGF 的稳定分布设 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，其特征函数为 \[ \phi X(u)=\exp(-c|u| 3/2 ),\qquad c>0. \] 证明 \[ n -2/3 (X 1+\cdots+X n) \] 与 X 1 同分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2866日内滑点的 Markov 上界一个非负滑点随机变量 L 满足均值 E[L]=2 个基点。请给出 P(L\ge 10) 的最佳 Markov 上界。概率简单derivation未尝试面试订阅2867由四阶矩得到的广义 Markov 上界设 X 是任意随机变量，且 E[X 4]=81。请把 Markov 不等式用在一个合适的非负随机变量上，给出 P(|X|\ge 6) 的上界。概率中等derivation未尝试面试订阅2868由 Markov 推导 Chebyshev请从 Markov 不等式推出 Chebyshev 不等式。也就是说，证明对任意均值为 、方差为 2 的随机变量 X， \[ P(|X- |\ge a)\le 2 a 2 . \]概率简单derivation未尝试面试订阅2869Monte Carlo 均值的 Chebyshev 上界某个无偏 Monte Carlo 估计量是 n=100 个独立同分布样本的平均值，每个样本的方差为 9。用 Chebyshev 不等式给出样本均值偏离真实目标至少 0.5 的概率上界。概率简单derivation未尝试面试订阅2870这里哪种上界更好？设非负随机变量 X 满足 E[X]=1 且 Var (X)=4。请比较对 P(X\ge 5) 的 Markov 上界与 Chebyshev 上界，并说明哪一个更紧。概率中等derivation未尝试面试订阅2871Bernoulli 均值的 Hoeffding 上界设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的 Bernoulli(p) 随机变量，样本均值记为 X n。用 Hoeffding 不等式给出 \[ P( X n-p\ge \varepsilon) \] 的上界。概率简单derivation未尝试面试订阅287299% 置信度下需要多少次 Bernoulli 试验？你用 n 个独立 Bernoulli 样本的均值来估计成功概率。若只使用 Hoeffding 不等式，要保证 \[ P(| X n-p|\ge 0.02)\le 0.01, \] n 至少需要多大？概率中等derivation未尝试面试订阅2873100 次抛硬币出现至少 65 次正面：Hoeffding 与 Chebyshev 的比较一枚公平硬币被抛掷 100 次。请比较在“正面比例至少为 0.65”这一事件上，Hoeffding 上界与 Chebyshev 上界分别是多少。概率中等derivation未尝试面试订阅2874有界日度盈亏的 Hoeffding 上界设日度中心化盈亏增量 X 1,\dots,X 50 相互独立，并且几乎处处落在区间 [-2,3]。请用 Hoeffding 不等式上界 \[ P\! ( 1 50 \sum i=1 50 X i\ge 0.5 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2875有界收益的 Monte Carlo 定价误差某个 Monte Carlo 定价器对 500 个独立同分布的贴现收益样本取平均，每个样本都落在 [0,1]。用 Hoeffding 不等式上界估计价格与真实价格相差至少 0.05 的概率。概率简单derivation未尝试面试订阅