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非代码面试题
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2876由 MGF 假设推出次高斯尾界设中心化随机变量 X 满足 \[ E[e tX ]\le e 2 t 2/2 \qquad 对所有 t\in R. \] 请用指数型 Markov 不等式证明 \[ P(X\ge x)\le e -x 2/(2 2) . \]概率中等derivation未尝试面试订阅2877Rademacher 和的上尾界设 X 1,\dots,X 100 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用 Chernoff 风格的上界估计 \[ P (\sum i=1 100 X i\ge 20 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2878泊松上尾的乘法型 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明对任意 >0， \[ P(N\ge (1+ ) )\le \exp\! (- \bigl((1+ )\ln(1+ )- \bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2879数值化的泊松过载上界某交易网关在固定时间窗内收到的消息数满足 N\sim Poisson (100)。请用泊松上尾的 Chernoff 上界估计 P(N\ge 130)。概率中等derivation未尝试面试订阅2880泊松下尾 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明当 0< <1 时， \[ P(N\le (1- ) )\le \exp\! (- \bigl( +(1- )\ln(1- )\bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2881泊松短缺事件的数值上界若 N\sim Poisson (100)，请用下尾 Chernoff 上界估计 P(N\le 80)。概率中等derivation未尝试面试订阅2882指数分布变量的 Chernoff 上界优化设 X\sim Exponential (1)。请利用其 MGF 推导当 a>1 时 P(X\ge a) 的最佳 Chernoff 型上界。概率中等derivation未尝试面试订阅2883指数和的 Chernoff 上界设 S=X 1+\cdots+X k，其中 X i\overset i.i.d. \sim Exponential (1)。请利用 MGF 推导当 a>k 时 P(S\ge a) 的 Chernoff 上界。概率困难derivation未尝试面试订阅2884二项计数的乘法型 Chernoff 上界设 X\sim Binomial (n,p)，其均值为 =np。证明对任意 >0， \[ P(X\ge (1+ ) )\le ( e (1+ ) 1+ ) . \]概率困难derivation未尝试面试订阅2885带波动率代理的次高斯和设 X 1,\dots,X n 是相互独立的中心化随机变量，并且每个变量都满足 \[ E[e tX i ]\le e 2 t 2/2 \qquad 对所有 t\in R. \] 证明对 S n=\sum i=1 n X i， \[ P(S n\ge x)\le \exp\! (- x 2 2n 2 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2886用指数型 Markov 推导高斯尾界设 Z\sim N(0, 2)。请利用高斯分布的 MGF 推导 Chernoff 上界 \[ P(Z\ge a)\le e -a 2/(2 2) . \]概率简单derivation未尝试面试订阅2887A/B 差值的集中上界你进行一个 A/B 测试，处理组与对照组各有 n 个独立 Bernoulli 观测。记样本均值为 X 和 Y。请用 Hoeffding 不等式给出 \[ P\bigl(( X- Y)-E[ X- Y]\ge \varepsilon\bigr) \] 的上界。概率中等derivation未尝试面试订阅2888异质区间长度下的 Hoeffding 上界若独立中心化冲击满足几乎处处 \[ X 1\in[-1,1],\quad X 2\in[-2,2],\quad X 3\in[-3,3],\quad X 4\in[-4,4], \] 请用 Hoeffding 不等式上界 P(X 1+X 2+X 3+X 4\ge 6)。概率中等derivation未尝试面试订阅2889要让泊松翻倍尖峰足够罕见，均值至少多大？设 N\sim Poisson ( )。请用上尾 Chernoff 上界给出一个对 的充分条件，使得 \[ P(N\ge 2 )\le 0.01. \]概率中等derivation未尝试面试订阅2890对有界均值偏差，哪个上界更好？你对 n=200 个独立样本取平均，每个样本都落在区间 [0,1]。请比较事件 \[ P ( X-E[ X]\ge 0.1 ) \] 在 Chebyshev 上界和 Hoeffding 上界下分别是多少。Chebyshev 一侧请使用最坏情形方差。概率中等derivation未尝试面试订阅2891两状态市场环境切换市场环境只有两种状态：Calm 和 Volatile。从 Calm 出发，以概率 转到 Volatile；从 Volatile 出发，以概率 转到 Calm。求该链的平稳分布。概率简单derivation未尝试面试订阅2892三状态出生-死亡型市场环境链考虑三种状态 Bull、Neutral、Bear，其转移矩阵为 \[ P= \begin pmatrix 0.8 & 0.2 & 0\\ 0.3 & 0.4 & 0.3\\ 0 & 0.2 & 0.8 \end pmatrix . \] 求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2893双随机链的均匀平稳分布设一个有限 Markov 链的转移矩阵 P 既是行和为 1，也是列和为 1 的矩阵。证明均匀分布是它的平稳分布。概率简单derivation未尝试面试订阅2894无向图上的随机游走一个简单随机游走在连通无向图 G=(V,E) 上运行，每一步都在当前点的邻居中等概率地选一个移动。证明其平稳分布与顶点度数成正比。概率简单derivation未尝试面试订阅2895星形图上的长期占用比例一个简单随机游走运行在一张星形图上，其中有一个中心点和 m 个叶子节点。请问在平稳状态下，走到中心点的长期比例是多少？每个叶子的长期比例又是多少？概率简单derivation未尝试面试订阅