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非代码面试题
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219独立几何随机变量最大值的分布设 X 1, \ldots, X n 独立同分布 Geometric (p)，P(X i=k)=(1-p) k-1 p。令 M = \max(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M \le m) = [1-(1-p) m] n。 (b) 推导 P(M = m)。 (c) 利用尾和公式表达 E[M] 为无穷级数。 (d) n=2，p=1/2 时，计算 P(M=1), P(M=2), P(M=3) 并精确求 E[M]。 (e) 对一般 n 和小 p，启发式论证 E[M] \approx (\ln n)/p。概率困难derivation未尝试免费220通过特征函数证明二项分布的泊松极限设 X n \sim Binomial (n, /n)， > 0 固定。 (a) 写出 \varphi X n (t) 的闭式。 (b) 证明 \lim n \varphi X n (t) = e (e it -1) 。 (c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。 (d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。 (e) =5，n=100 时，用精确二项和泊松近似分别计算 P(X n=3)，求相对误差。概率困难derivation未尝试免费287扑克牌中的同点数对从标准 52 张扑克牌中均匀随机抽取 5 张。同点数对是指手牌中点数相同的无序二元组（例如两张 K）。求手牌中同点数对个数的期望值。概率简单数值题未尝试免费296抛硬币中的正反面转换独立抛一枚公平硬币 n 次。位置 i（1 \le i \le n-1）处发生转换是指第 i 次和第 i+1 次结果不同（一次正面一次反面）。求转换次数的期望值。概率简单derivation未尝试免费297群体中的不同生日天数n 个人的生日各自独立且均匀地取自 365 天。若至少有一人在某天过生日，则称该天被占据。求被占据天数的期望值。概率简单derivation未尝试免费302排成一排的颜色匹配n 个人排成一排，每人独立且等概率地从红、绿、蓝三种颜色中选一种。相邻且选了相同颜色的对数的期望是多少？概率简单数值题未尝试免费315随机抽取后的唯一类型数收集者从 n 种优惠券中独立均匀地随机抽取 m 张。若某种优惠券恰好被抽到一次，则称其为唯一类型（singleton）。求唯一类型个数的期望。概率困难derivation未尝试免费322掷骰子中的相邻匹配将一颗公平六面骰子独立掷 n 次，得到序列 D 1, D 2, \dots, D n。若 D i = D i+1 （1 \le i \le n-1），则称位置 i 发生了相邻匹配。求相邻匹配个数的期望。概率简单数值题未尝试免费334含公共分量的独立变量之和的协方差设 X、Y、Z 为独立随机变量， Var (X) = 1， Var (Y) = 2， Var (Z) = 3。令 U = X + Y，V = Y + Z。求 Cov (U, V) 和 Corr (U, V)。概率中等数值题未尝试免费337独立变量之差的方差设 X 与 Y 独立， Var (X) = 4， Var (Y) = 9。一位同学声称 SD (X - Y) = SD (X) - SD (Y) = 2 - 3 = -1。求 Var (X - Y) 和 SD (X - Y) 的正确值，并解释该同学的错误。概率简单数值题未尝试免费338两个独立均匀变量之积的方差设 X 和 Y 独立，均服从 [0,1] 上的均匀分布。求 Var (XY)。概率中等数值题未尝试免费343多项分布计数的协方差将一个公平六面骰子独立投掷 60 次。令 N 1 为面 1 出现的次数，N 2 为面 2 出现的次数。 (a) 求 Cov (N 1, N 2)。 (b) 利用 (a) 的结果求 Var (N 1 + N 2)，并通过识别 N 1 + N 2 的分布来验证。概率中等数值题未尝试免费349随机和的方差（Wald 方差恒等式）某商铺每天收到 N 笔订单，N \sim Poisson (8)。每笔订单金额 X i 独立且 E[X i] = 50， Var (X i) = 400。令 S = X 1 + \cdots + X N 为每日总收入。 利用全方差公式推导 Var (S) 并求值。概率中等数值题未尝试免费352几何次数下的瓦尔德等式反复掷一枚均匀骰子，直到出现 6 为止。每次非 6 的结果计入得分，出现 6 时不计分且游戏结束。设 S 为总得分，利用瓦尔德等式求 E[S]。概率简单数值题未尝试免费353随机和的二阶矩——塔性质设 N \sim Poisson (4)，给定 N=n 时，S = X 1 + \cdots + X n，其中 X i \stackrel iid \sim Uniform (0,1)。利用塔性质与 E[S 2 \mid N] = Var (S \mid N) + (E[S \mid N]) 2 求 E[S 2]。概率中等数值题未尝试免费356三层离散隐变量的塔性质随机变量 K 均匀取自 \ 1,2,3\ 。给定 K=k，X \sim Exp (k)（速率 k，即 E[X \mid K = k]=1/k）。求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费361随机掷硬币次数的塔性质掷一枚公平骰子得到 D \sim Uniform \ 1,2,3,4,5,6\ ，然后独立掷 D 枚公平硬币，X 为正面总数。利用塔性质求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费362两阶段二项抽取的迭代期望设 N 均匀取自 \ 1,2,3,4\ ，给定 N=n 时 X \sim Binomial (n,1/3)。求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费366通过塔性质求乘积矩设 Y \sim Exp (1)，给定 Y=y 时 X \mid Y = y \sim Uniform (0,y)。利用塔性质求 E[XY]。概率简单数值题未尝试免费367几何停止指数和的方差设 N \sim Geometric (1/2)（P(N=k)=(1/2) k，k=1,2,\ldots），给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布于 Exp (1)。令 S=X 1+\cdots+X N。利用全期望定律和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费