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非代码面试题
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380两个独立指数变量之比的分布设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 R = X/Y。 (a) 利用变换 (R,S) = (X/Y,\,Y)，通过雅可比行列式求 f R,S ，再对 S 积分得到 R 的 PDF。 (b) 将 f R 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 P(R \le 1)。概率困难derivation未尝试免费382标准正态变量的平方服从卡方(1)分布设 X \sim N(0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 2 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费384两个独立均匀变量乘积的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用变换 (W,V)=(XY,\,Y)，推导 W = XY 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费385Box-Muller 变换：从均匀到独立正态设 U 1, U 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，定义 Z 1 = -2\ln U 1 \,\cos(2 U 2),\quad Z 2 = -2\ln U 1 \,\sin(2 U 2). (a) 计算从 (Z 1,Z 2) 到 (U 1,U 2) 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 Z 1 和 Z 2 是独立的 N(0,1) 随机变量。概率困难derivation未尝试免费387概率积分变换（逆 CDF 方法）设 F X 为连续严格递增的 CDF，U \sim Uniform (0,1)。证明 Y = F X -1 (U) 的 CDF 为 F X。 反之，证明若 X 的 CDF 为 F X，则 F X(X) \sim Uniform (0,1)。概率简单derivation未尝试免费389独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布设 X \sim Gamma ( ,1)，Y \sim Gamma ( ,1) 独立。利用变换 (W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 f W,S 并对 S 积分，证明 W \sim Beta ( , )。 (c) 证明 W 与 S 独立。概率困难derivation未尝试免费392均匀变量的正切变换得到柯西分布设 X \sim Uniform (- /2, /2)。利用换元公式推导 Y = \tan(X) 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费394独立标准正态之比服从柯西分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)。利用变换 (Y,V)=(X 1/X 2, X 2)： (a) 推导联合密度 f Y,V (y,v)。 (b) 对 V 积分，求 Y=X 1/X 2 的边际密度并识别分布。概率困难derivation未尝试免费397均匀随机变量的倒数设 X \sim Uniform (0,1)。利用换元公式推导 Y = 1/X 的 PDF。判断 E[Y] 是否有限。概率简单derivation未尝试免费399标准正态的绝对值：半正态分布设 X \sim N(0,1)，Y = |X|。 (a) 利用 CDF 方法推导 Y 的 PDF（注意 |X| 不是单调函数）。 (b) 计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率中等multi part未尝试免费404均匀顺序统计量的期望极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量。极差定义为 R = X (n) - X (1) 。推导 E[R] 关于 n 的封闭表达式。概率中等derivation未尝试免费405极值的联合分布与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。令 X (1) = \min i X i，X (n) = \max i X i。概率困难multi part未尝试面试订阅406五个均匀分布的第二顺序统计量设 X 1, \ldots, X 5 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，X (2) 表示第二小的值。求 E[X (2) ]。概率简单数值题未尝试免费409均匀顺序统计量相邻间距的期望设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)，令 X (0) =0，X (n+1) =1。证明 E[X (k+1) -X (k) ]= 1 n+1 对所有 k=0,\ldots,n 成立，并计算 n=4 时的值。概率中等数值题未尝试免费410两个均匀顺序统计量的联合密度与协方差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。考虑顺序统计量 X (i) 和 X (j) ，其中 1 \le i < j \le n。概率困难multi part未尝试面试订阅412五个均匀分布最小值的期望设 X 1, \ldots, X 5 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。求最小值 X (1) 的期望。概率简单数值题未尝试免费414指数顺序统计量间距的 Renyi 表示设 X 1,\ldots,X n 为 iid Exp ( )，X (1) \le\cdots\le X (n) 为顺序统计量。定义归一化间距 D k=(n-k+1)(X (k) -X (k-1) )（k=1,\ldots,n），其中 X (0) =0。概率困难multi part未尝试面试订阅415均匀样本中程的分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 2）。中程定义为 M= X (1) +X (n) 2 。利用 (X (1) ,X (n) ) 的联合密度推导 M 的 PDF。概率困难derivation未尝试面试订阅417极差超过二分之一的概率设 X 1, X 2, X 3 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。极差 R = X (3) -X (1) 。计算 P(R> 1 2 )。概率中等数值题未尝试免费419给定最大值时最小值的条件分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 3）。X (1) 和 X (n) 分别为最小值和最大值。概率困难multi part未尝试面试订阅