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非代码面试题
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412五个均匀分布最小值的期望设 X 1, \ldots, X 5 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。求最小值 X (1) 的期望。概率简单数值题未尝试免费413第 k 个均匀顺序统计量的 Beta 分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)。推导第 k 个顺序统计量 X (k) 服从 Beta (k, n-k+1) 分布。概率中等derivation未尝试免费414指数顺序统计量间距的 Renyi 表示设 X 1,\ldots,X n 为 iid Exp ( )，X (1) \le\cdots\le X (n) 为顺序统计量。定义归一化间距 D k=(n-k+1)(X (k) -X (k-1) )（k=1,\ldots,n），其中 X (0) =0。概率困难multi part未尝试面试订阅415均匀样本中程的分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 2）。中程定义为 M= X (1) +X (n) 2 。利用 (X (1) ,X (n) ) 的联合密度推导 M 的 PDF。概率困难derivation未尝试面试订阅416四个均匀分布中第二小值的期望设 X 1, X 2, X 3, X 4 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。计算 E[X (2) ]。概率简单数值题未尝试免费417极差超过二分之一的概率设 X 1, X 2, X 3 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。极差 R = X (3) -X (1) 。计算 P(R> 1 2 )。概率中等数值题未尝试免费418第二小指数变量的期望值设 X 1,\ldots,X 5 为独立的 Exp (1) 随机变量。推导 E[X (2) ]。概率中等derivation未尝试免费419给定最大值时最小值的条件分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 3）。X (1) 和 X (n) 分别为最小值和最大值。概率困难multi part未尝试面试订阅420第 k 个均匀顺序统计量的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)。推导 Var (X (k) ) 的封闭表达式（1\le k\le n）。概率困难derivation未尝试面试订阅421四个均匀分布最小值的 CDF设 X 1, X 2, X 3, X 4 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。推导 X (1) =\min(X 1,X 2,X 3,X 4) 的 CDF 和 PDF。概率简单derivation未尝试免费422两个均匀分布最大值的期望设 X 1, X 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。计算 E[\max(X 1, X 2)]。概率简单数值题未尝试免费423均匀顺序统计量极差的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)，R=X (n) -X (1) 。推导 Var (R) 关于 n 的表达式。概率中等derivation未尝试免费424最大与次大均匀变量之间的期望间距设 X 1,\ldots,X 6 为 iid Uniform (0,1)。求最大值和次大值之间的期望间距：E[X (6) -X (5) ]。概率中等数值题未尝试免费425两个最小指数顺序统计量之比设 X 1, X 2 为独立的 Exp (1) 随机变量，顺序统计量为 X (1) \le X (2) 。定义 U=X (1) /X (2) 。概率困难multi part未尝试面试订阅427利用无记忆性求条件期望设 X \sim Exp (2)。利用无记忆性质，求 E[X \mid X > 3]。概率简单数值题未尝试免费429几何次几何试验赌徒进行若干轮游戏。每轮中抛一枚 P( 正面 ) = p 的硬币直到出现正面，该轮抛掷次数为 Geom (p)。轮数本身为 Geom (q)（与抛硬币独立）。设 S 为总抛掷次数。利用几何分布的无记忆性，证明 S \sim Geom (pq) 并求 E[S]。概率中等derivation未尝试免费430无记忆性的刻画与剩余寿命悖论(a) 设 X 为连续正随机变量，满足 P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)。证明 X 必为指数分布。 (b) 灯泡寿命 L 的 CDF 为 F(t) = 1 - 1 2 e -t - 1 2 e -3t 。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 R 为其剩余寿命。证明 E[R] > E[L] 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。概率困难derivation未尝试面试订阅431几何分布超过阈值的条件计算设 X \sim Geom (1/4)（首次成功的试验次数）。利用几何分布的无记忆性，求 (i) E[X \mid X > 5]，(ii) P(X > 8 \mid X > 5)。概率简单数值题未尝试免费432指数竞赛中的非对称惩罚两个独立警报分别在 Exp (4) 和 Exp (6) 时刻触发。警报 1 先触发付 3 元，警报 2 先触发付 5 元。首个警报触发后，剩余警报由无记忆性重新开始，触发时再付 1 元。求总支付的期望。概率中等数值题未尝试免费433存活指数变量的条件方差设 X \sim Exp ( )。利用无记忆性求 Var (X \mid X > t)（t > 0）。条件于存活是否改变方差？对 =5, t=2 给出数值。概率中等数值题未尝试免费