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非代码面试题
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473等权组合负收益概率的 CLT 估计等权组合含 n=50 只股票，各自年化收益独立， =0.08， =0.20。组合收益 R = 1 50 R i。 **(a)** LLN 对 R 的保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P( R < 0)。 可使用 \Phi(2.83) \approx 0.9977。概率中等数值题未尝试免费475Slutsky 定理与估计方差下的 CLT设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d.（均值 ，方差 2），S n 2 为样本方差，T n = n ( X n - )/S n。 **(a)** 用 LLN 和 Slutsky 定理证明 T n \xrightarrow d N(0,1)。 **(b)** n=100， X =12.5，S=3.0，\mu 0=12。近似 P( X >12.5)。 可使用 \Phi(1.67) \approx 0.9525。概率困难derivation未尝试免费479状态依赖漂移的首次到达边界问题粒子在 \ 0,1,2,3,4\ 上运动。从状态 i（0<i<4）以概率 p i = i/4 向右跳，q i = 1-i/4 向左跳。0 和 4 吸收。从状态 2 出发：(a) 求被状态 4 吸收的概率。(b) 求直到吸收的期望步数。概率中等derivation未尝试免费480通过补偿鞅求击中时间方差马尔可夫链在 \ 0,1,2,3\ 上，从 i（0<i<3）以概率 2/3 跳至 i+1，1/3 跳至 i-1。0 和 3 吸收。令 T = \inf\ n: X n \in \ 0,3\ \ 。 (a) 用鞅 M n = X n\wedge T - (p-q)(n\wedge T) 和 OST 求 E[T \mid X 0=2]。 (b) 用鞅 N n = M n 2 - 4pq(n\wedge T) 求 Var (T \mid X 0=2)。 (c) 用一步分析验证 E[T]。概率困难derivation未尝试面试订阅482经过随机化状态的首达时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ 上，转移矩阵为 P = \begin pmatrix 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 3/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end pmatrix 。状态 0 吸收。(a) 求 E[T \mid X 0=1]。(b) 求 E[T \mid X 0=2]。概率中等数值题未尝试免费484两状态链乘积上的击中时间(X n, Y n) 是 \ 0,1\ 2 上的独立乘积链。X 以概率 1/3 翻转，Y 以概率 1/2 翻转。从 (1,1) 出发，求首次到达 (0,0) 的期望步数。概率中等derivation未尝试免费492六状态链上配对坐标的击中时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ \ 0,1\ 上。(0,y) 吸收。从 (i,j)（i\ge1）以概率 1/3 到 (i-1,j)，1/3 到 (i,1-j)，1/3 到 (i+1,j)（i+1>2 时重新分配）。求 E[T|X 0=(1,1)]。概率中等derivation未尝试免费495通信类之间的有限击中时间五状态链 \ 1,2,3,4,5\ ，转移矩阵如题。B=\ 4,5\ ，T B=\inf\ n:X n \in B\ 。(a) 证明 E[T B|X 0=i]< 。(b) 求 E[T B|X 0=1]。概率困难derivation未尝试免费499周期性漂移变化的首达时间七状态链 \ 0,...,6\ ，0 吸收，6 反射。瞬态状态 1 \le i \le 5 的转移概率取决于 i \bmod 3：i\equiv0时左 2/3 右 1/3；i\equiv1时各 1/2；i\equiv2时左 1/3 右 2/3。求 E[T 0|X 0=3]。概率中等derivation未尝试免费528三维超立方体上的击中时间随机游走在三维超立方体 Q 3 上进行：8 个顶点为长度 3 的二进制串，两顶点相邻当且仅当恰好一个坐标不同。每步等概率选一个坐标翻转。从 000 出发，求首次到达 111 的期望步数。概率中等数值题未尝试免费530超立方体 Q₃ 的等效电阻与通勤时间三维超立方体 Q 3（顶点为长度 3 二进制串，边连一位不同的串），每边电阻为 1。 (a) 利用 Q 3 的对称性，计算 000 与 111 之间的等效电阻 R eff (000,111)。 (b) 随机游走的通勤时间满足 C(u,v)=2m R eff (u,v)，其中 m 为边数。求 000 到 111 的通勤时间。概率困难derivation未尝试面试订阅532Petersen 图上的击中时间Petersen 图有 10 个顶点、15 条边，是 3-正则且距离传递的，直径为 2。每步等概率移向 3 个邻居之一。从顶点 u 出发，求首次到达与 u 不相邻的指定顶点 v 的期望步数。概率中等数值题未尝试免费533环图上惰性游走的谱雙与混合时间环图 C n 上的惰性随机游走：每步以 1/2 概率停留，各以 1/4 概率移向两个邻居。转移矩阵特征值为 \lambda k= 1 2 (1+\cos(2 k/n))。 (a) 求谱雙 =1-\lambda 1。 (b) 利用 t mix \asymp 1/ 确定 n 时混合时间的阶。概率中等derivation未尝试免费539完全图 K₄ 的覆盖时间随机游走在 K 4 上。(a) 求最大击中时间。(b) 用 Matthews 定理给出覆盖时间的界。(c) 精确计算覆盖时间。概率困难derivation未尝试面试订阅545Kₙ 上惰性随机游走的混合时间K n 上的惰性随机游走。(a) 证明转移矩阵有两个不同特征值。(b) 求谱雙并确定混合时间的阶。概率困难derivation未尝试面试订阅550环图 C₆ 的期望覆盖时间简单随机游走在环图 C 6 上。从顶点 0 出发，求访问所有 6 个顶点的期望步数（覆盖时间）。概率困难derivation未尝试面试订阅590带权报价止停规则 5你最多可以观察 3 个独立报价。每次报价的分布为：0 的概率是 1/4，4 的概率是 1/4，7 的概率是 1/4，12 的概率是 1/4。若拒绝当前报价并继续，则要付出 1 点成本；若来到最后一次抽取，则必须接受。问第一轮的最优接受阈值是什么，且对应的最优期望净收益是多少？概率困难derivation未尝试免费1428指数二次余项 3计算 lim (x->0) [exp(3x + -2x 2) - 1 - 3x] / x 2。数学中等数值题未尝试免费1430三角函数的五阶余项极限计算极限 lim x->0 [sin(3x) - 3x + (9/2)x 3] / x 5。数学困难数值题未尝试免费1433分式线性函数的二阶余项计算极限 lim x->0 [((1+x)/(1-x)) - 1 - 2x] / x 2。数学中等数值题未尝试免费