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非代码面试题
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207通过矩母函数求二项分布的矩设 X \sim Binomial (n, p)。 (a) 推导矩母函数 M X(t) = E[e tX ] 的闭式表达式。 (b) 对 M X(t) 求导并在 t = 0 处求值，得到 E[X] 和 E[X 2]，进而求 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费208独立泊松之和仍为泊松设 X \sim Poisson ( )，Y \sim Poisson ( )，且 X, Y 独立。 (a) 推导 Poisson ( ) 随机变量的矩母函数。 (b) 利用矩母函数证明 X + Y \sim Poisson ( + )。 (c) 某呼叫中心接收来自两个独立来源的电话，速率分别为 = 3 和 = 7（每小时）。下一小时恰好接到8通电话的概率是多少？概率中等derivation未尝试免费224复合泊松分布：矩母函数与矩设 N \sim Poisson ( )，X 1, X 2, \ldots 独立同分布（与 N 独立），MGF 为 M X(t)。定义复合泊松和 S = \sum i=1 N X i（N=0 时 S=0）。 (a) 推导 S 的 MGF，证明 M S(t) = \exp( (M X(t)-1))。 (b) 用 MGF 推导 E[S] 和 Var (S)。 (c) 用全期望公式和全方差公式重新推导。 (d) 保险公司每天收到 =10 件理赔，每件金额为 1000 元（概率 0.6）或 5000 元（概率 0.4）。求每日总理赔额 S 的期望、方差和标准差。概率困难derivation未尝试免费233对数正态分布的均值与方差设 X 为对数正态随机变量，即 \ln X \sim N( , 2)。利用正态分布的矩生成函数，推导 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费235从第一性原理推导卡方分布设 Z 1, \ldots, Z n 为 i.i.d. N(0,1) 随机变量，定义 Q = \sum i=1 n Z i 2。 (a) 利用连续随机变量的变量替换法，推导 Z 1 2 的 PDF。 (b) 将 (a) 的结果与 Gamma 族匹配，证明 Z 1 2 \sim Gamma ( 1 2 , 1 2 )。 (c) 利用相同速率参数的独立 Gamma 随机变量之和仍为 Gamma 的性质，写出 Q 的分布。 (d) 推导 E[Q] 和 Var (Q)。概率困难derivation未尝试免费1520局部对冲乘子 5围绕 0 做二阶 Taylor 近似，估计 (1+-2x) (1/2) * (1+5x) (1/2) 在 x=1/100 时的值。数学困难derivation未尝试面试订阅2027对数屏障的 Jensen 方向 7某个利用率评分在接近 1 时会发散，因此凸性方向对压力设计很重要。 设 u(x)=-ln(1-x)，定义域为 x<1。若 U 是随机变量且几乎处处小于 1，比较 E[u(U)] 与 u(E[U])。数学中等derivation未尝试免费2035非等概率情景下的资金缓冲差距 15高杠杆情景更少见，但仍会显著影响凸变换后的平均值。 某个资金缓冲模型使用 phi(L)=1/(1+L)。设 L 以概率 1/4、3/4 取值 1、4。计算 E[phi(L)] 和 phi(E[L])。数学困难数值题未尝试面试订阅2043两个情景下的对数 carry 差距 23交易台希望看到精确的凹型 Jensen gap，而不仅仅是不等式方向。 某交易台用 psi(x)=ln(1+x) 给 carry 打分。设 X 以概率 1/2、1/2 取值 0、3。计算 E[psi(X)] 和 psi(E[X])。数学中等数值题未尝试面试订阅2841带符号复合泊松订单流把市场买单记为 +1、卖单记为 -1。一分钟内的成交笔数满足 N\sim Poisson ( )；在给定发生一笔成交时，其符号以概率 p 取 +1，以概率 1-p 取 -1，且彼此独立。记该分钟的净带符号订单流为 S。求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2842指数跳幅的复合泊松和理赔笔数满足 N\sim Poisson ( )。理赔金额 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，且服从参数为 的指数分布，并与 N 独立。记 S=\sum i=1 N X i。求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2843Gamma-泊松混合得到负二项计数潜在强度 \Lambda 服从形状参数为 、率参数为 的 Gamma ( , ) 分布。在给定 \Lambda 的条件下，计数变量 N 服从 Poisson (\Lambda)。用 MGF 判断 N 的无条件分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2844几何个指数阶段之和一个任务会经历几何个阶段：N 的取值集合为 \ 1,2,\dots\ ，且 P(N=n)=p(1-p) n-1 。每个阶段的持续时间独立同分布，服从参数为 的指数分布，并与 N 独立。记 T=\sum i=1 N X i。用 MGF 判断 T 的分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2845从 MGF 识别平移后的泊松分布某随机变量的 MGF 为 \[ M X(t)=\exp\!\bigl(2t+3(e t-1)\bigr). \] 识别 X 的分布，并计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试面试订阅2848从联合 MGF 读取协方差设 \[ M X,Y (s,t)=\exp\!\bigl(2s-t+2s 2+3st+\tfrac52 t 2\bigr). \] 计算 E[X]、E[Y]、 Var (X)、 Var (Y) 以及 Cov (X,Y)。概率中等derivation未尝试面试订阅2849两个指数变量之差设 X,Y\overset i.i.d. \sim Exponential ( )。用 MGF 判断 D=X-Y 的分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2856高斯跳幅的复合泊松和设 N\sim Poisson ( )，并且 Y 1,Y 2,\dots 相互独立同分布，服从 N( , 2)，且与 N 独立。对 \[ S=\sum k=1 N Y k, \] 求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2858从特征函数识别 Laplace 分布设某个中心化随机变量的特征函数为 \[ \phi X(u)= 1 1+b 2u 2 . \] 识别 X 的分布，并给出其存在区间上的 MGF。概率中等derivation未尝试面试订阅2859指数样本均值的 MGF设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的指数随机变量，率参数为 ，并记 \[ X n= 1 n \sum i=1 n X i. \] 求 X n 的 MGF，并由此恢复 E[ X n] 和 Var ( X n)。概率中等derivation未尝试面试订阅2862联合 MGF 可分解意味着独立设 \[ M X,Y (s,t)=\exp\! (s+2t+ s 2 2 +2t 2 ). \] 识别 X 与 Y 的边缘分布，并判断它们是否独立。概率中等derivation未尝试面试订阅