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非代码面试题
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287299% 置信度下需要多少次 Bernoulli 试验？你用 n 个独立 Bernoulli 样本的均值来估计成功概率。若只使用 Hoeffding 不等式，要保证 \[ P(| X n-p|\ge 0.02)\le 0.01, \] n 至少需要多大？概率中等derivation未尝试面试订阅2873100 次抛硬币出现至少 65 次正面：Hoeffding 与 Chebyshev 的比较一枚公平硬币被抛掷 100 次。请比较在“正面比例至少为 0.65”这一事件上，Hoeffding 上界与 Chebyshev 上界分别是多少。概率中等derivation未尝试面试订阅2876由 MGF 假设推出次高斯尾界设中心化随机变量 X 满足 \[ E[e tX ]\le e 2 t 2/2 \qquad 对所有 t\in R. \] 请用指数型 Markov 不等式证明 \[ P(X\ge x)\le e -x 2/(2 2) . \]概率中等derivation未尝试面试订阅2877Rademacher 和的上尾界设 X 1,\dots,X 100 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用 Chernoff 风格的上界估计 \[ P (\sum i=1 100 X i\ge 20 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2878泊松上尾的乘法型 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明对任意 >0， \[ P(N\ge (1+ ) )\le \exp\! (- \bigl((1+ )\ln(1+ )- \bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2879数值化的泊松过载上界某交易网关在固定时间窗内收到的消息数满足 N\sim Poisson (100)。请用泊松上尾的 Chernoff 上界估计 P(N\ge 130)。概率中等derivation未尝试面试订阅2880泊松下尾 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明当 0< <1 时， \[ P(N\le (1- ) )\le \exp\! (- \bigl( +(1- )\ln(1- )\bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2881泊松短缺事件的数值上界若 N\sim Poisson (100)，请用下尾 Chernoff 上界估计 P(N\le 80)。概率中等derivation未尝试面试订阅2882指数分布变量的 Chernoff 上界优化设 X\sim Exponential (1)。请利用其 MGF 推导当 a>1 时 P(X\ge a) 的最佳 Chernoff 型上界。概率中等derivation未尝试面试订阅2883指数和的 Chernoff 上界设 S=X 1+\cdots+X k，其中 X i\overset i.i.d. \sim Exponential (1)。请利用 MGF 推导当 a>k 时 P(S\ge a) 的 Chernoff 上界。概率困难derivation未尝试面试订阅2884二项计数的乘法型 Chernoff 上界设 X\sim Binomial (n,p)，其均值为 =np。证明对任意 >0， \[ P(X\ge (1+ ) )\le ( e (1+ ) 1+ ) . \]概率困难derivation未尝试面试订阅2885带波动率代理的次高斯和设 X 1,\dots,X n 是相互独立的中心化随机变量，并且每个变量都满足 \[ E[e tX i ]\le e 2 t 2/2 \qquad 对所有 t\in R. \] 证明对 S n=\sum i=1 n X i， \[ P(S n\ge x)\le \exp\! (- x 2 2n 2 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2886用指数型 Markov 推导高斯尾界设 Z\sim N(0, 2)。请利用高斯分布的 MGF 推导 Chernoff 上界 \[ P(Z\ge a)\le e -a 2/(2 2) . \]概率简单derivation未尝试面试订阅2887A/B 差值的集中上界你进行一个 A/B 测试，处理组与对照组各有 n 个独立 Bernoulli 观测。记样本均值为 X 和 Y。请用 Hoeffding 不等式给出 \[ P\bigl(( X- Y)-E[ X- Y]\ge \varepsilon\bigr) \] 的上界。概率中等derivation未尝试面试订阅2888异质区间长度下的 Hoeffding 上界若独立中心化冲击满足几乎处处 \[ X 1\in[-1,1],\quad X 2\in[-2,2],\quad X 3\in[-3,3],\quad X 4\in[-4,4], \] 请用 Hoeffding 不等式上界 P(X 1+X 2+X 3+X 4\ge 6)。概率中等derivation未尝试面试订阅2889要让泊松翻倍尖峰足够罕见，均值至少多大？设 N\sim Poisson ( )。请用上尾 Chernoff 上界给出一个对 的充分条件，使得 \[ P(N\ge 2 )\le 0.01. \]概率中等derivation未尝试面试订阅2890对有界均值偏差，哪个上界更好？你对 n=200 个独立样本取平均，每个样本都落在区间 [0,1]。请比较事件 \[ P ( X-E[ X]\ge 0.1 ) \] 在 Chebyshev 上界和 Hoeffding 上界下分别是多少。Chebyshev 一侧请使用最坏情形方差。概率中等derivation未尝试面试订阅