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非代码面试题
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027使后验恰好达到五五开的先验阈值某个信号对假设 H 相对于非 H 的似然比是 5。要让看到这个信号之后的后验概率恰好等于 1/2，H 的先验概率 p 应该是多少？概率简单数值题未尝试免费031先被标记后又被放行时的后验某借款人先验上有 0.2 的概率是高风险。快速模型会以 0.7 的概率标记高风险借款人，以 0.1 的概率误标低风险借款人。只有被标记的人才会进入人工复核。被标记的高风险借款人通过人工复核的概率是 0.4，被标记的低风险借款人通过人工复核的概率是 0.7。若现在观察到“先被标记、随后通过人工复核”，则该借款人是高风险的后验概率是多少？概率简单数值题未尝试免费035先阳后阴的后验某模型风险事件的先验概率为 1/50。若事件真实发生，则“初筛阳性、人工复核阴性”的条件概率分别为 9/10 与 1/10；若事件未发生，这两个条件概率分别为 1/5 与 4/5。若观察到的序列是“先阳后阴”，求事件的后验概率。概率困难数值题未尝试面试订阅041两轮筛选都通过后的后验某候选人属于顶级档的先验概率是 1/4。顶级候选人每轮筛选通过概率为 9/10，非顶级候选人每轮通过概率为 3/5。若该候选人独立地通过了两轮筛选，求其属于顶级档的后验概率。概率简单数值题未尝试免费042由后验反推先验某个假设的先验概率为 p。一个观测信号在该假设下的似然为 3/4，在备择情形下为 1/4。观察到该信号后，后验变为 3/7。求先验 p。概率中等数值题未尝试免费050噪声信号检测与证据阈值隐藏信号 S 等概率取 +1 或 -1。每步收到一个噪声读数：若 S=+1，读数为 +1 的概率为 2 3 、为 -1 的概率为 1 3 ；若 S=-1，读数为 -1 的概率为 2 3 、为 +1 的概率为 1 3 。给定 S 后各读数条件独立。 (a) 观测到序列 (+1,+1,-1)，求后验概率 P(S=+1 \mid 观测 )。 (b) 从均匀先验出发，至少连续观测到多少个 +1 读数才能使 P(S=+1) > 0.95？概率困难数值题未尝试免费078辛普森悖论与临床试验一项临床试验在两个亚组中测试某药物。亚组A（轻症）：治疗组 81/87（93%）康复，对照组 234/270（87%）康复。亚组B（重症）：治疗组 192/263（73%）康复，对照组 55/80（69%）康复。药物在两个亚组中均提高了康复率。现在计算合并两个亚组后的治疗组和对照组的总体康复率，解释表面上的矛盾，并指出引起该矛盾的混杂变量。概率中等derivation未尝试免费080双信封悖论两个信封各装有一笔正数金额，其中一个恰好是另一个的两倍。你随机选一个信封，打开发现里面有 x 元。朴素论证如下：另一个信封等可能是 2x 或 x/2，因此换信封的期望值为 (1/2)(2x) + (1/2)(x/2) = 5x/4 > x，应该总是换——但这导致无限来回切换的荒谬结论。(a) 精确指出朴素论证中的谬误。(b) 假设较小金额 S 服从某个已知的真概率分布且 E[S] = < ，证明无条件换信封的期望收益为零。(c) 解释为什么条件于观察到 x 时，对于某些 x 值换信封是理性的，而对于另一些 x 值则不是。概率困难derivation未尝试面试订阅083领带悖论Alice 和 Bob 各收到一条领带作为礼物。两条领带的价格不同且均为正值。双方都不知道任何一条领带的价格。他们约定比较：领带较便宜的一方赢得对方的领带。Alice 推理：'如果我的领带值 x，那么我要么赢得一条价值超过 x 的领带，要么输掉一条价值 x 的领带。由于两种情况各占一半，我的期望收益为正。' Bob 做出完全相同的论证。两人都认为游戏对自己有利——但这在零和交换中构成矛盾。(a) 精确指出 Alice 推理中的谬误。(b) 假设第三方抽取 V \sim Uniform (1, 100)，将两条领带定价为 V 和 2V 并随机分配给 Alice 和 Bob。若 Alice 看到自己的领带标价为 x，她参与游戏的期望收益是 x 的什么函数？证明无条件期望收益为零。概率中等derivation未尝试免费085检验悖论（公交等待时间）公交车按泊松过程以速率 到站（即到达间隔时间为独立同分布的 Exp ( )，均值 1/ ）。你在一个与公交时刻表无关的随机时间到达车站。令 L 为包含你到达时刻的那个到达间隔的长度——即你到达前最后一班车与你到达后下一班车之间的时间。(a) 求 E[L]。解释为什么它不等于 1/ ，尽管到达间隔的均值是 1/ 。(b) 求你的期望等待时间 E[W]（从到达到下一班车）。(c) 一位城市官员调查乘客并询问等待时间。如果报告的平均值为 1/ ，交通管理部门应该感到惊讶吗？用检验悖论解释。概率困难derivation未尝试面试订阅088圣彼得堡悖论赌场提供以下游戏：反复抛掷公平硬币直到第一次出现反面。如果第 n 次出现第一个反面，你赢得 2 n 美元。(a) 计算游戏的期望收益。(b) 尽管(a)的答案如此，大多数人只愿支付约20美元来玩。用Daniel Bernoulli的方法解决这个悖论：假设玩家具有对数效用 u(x) = \ln(x) 和初始财富 W。计算游戏的期望效用，并求 W = 1 , 000 , 000 时的确定性等价额。(c) 更实际的解决方案：假设赌场总资本有限为 C。若赔付上限为 C = 2 40 （约1万亿美元），期望收益是多少？概率中等derivation未尝试免费110桥牌手牌的4-3-3-3花色分布从一副标准52张扑克牌中发出13张桥牌手牌。求手牌花色分布恰好为4-3-3-3（某一花色4张，其余三种花色各3张）的概率。概率困难derivation未尝试面试订阅115桥牌手牌中的缺门从一副标准52张扑克牌中发出13张桥牌手牌。求手牌中出现缺门（至少一种花色完全没有）的概率。概率困难derivation未尝试面试订阅120七张手牌中不同点数的期望数从一副标准52张扑克牌中不放回地抽取七张牌。设 R 为七张牌中出现的不同点数的种数。求 E[R]。概率困难derivation未尝试面试订阅125七张手牌覆盖所有花色从一副标准52张扑克牌中不放回地抽取七张牌。求四种花色均有出现的概率。概率困难derivation未尝试面试订阅165至少与别人撞生日的人数期望在 365 天均匀生日模型中，n 个人生日彼此独立。至少有一位别人和自己同生日的人，其人数期望是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅168非均匀日历下的同生日对期望生日不一定均匀，而是以概率 p1,...,pm 落在第 1 到第 m 天。若有 n 个相互独立的人，则无序同生日人对的期望个数是多少？概率中等derivation未尝试面试订阅195六个盒子中首次碰撞的期望时间球逐个投出，每个球独立且均匀随机地落入6个盒子之一。令 T 为第一个落入已有球的盒子的球的编号（因此 T \ge 2）。推导 E[T] 并给出精确分数。概率困难derivation未尝试免费210多项分布的协方差与条件分布掷一个公平骰子 n = 60 次。令 X i 为面 i 出现的次数（i = 1, \ldots, 6），则 (X 1, \ldots, X 6) \sim Multinomial (60, 1/6, \ldots, 1/6)。 (a) 用指示变量计算 Cov (X 1, X 2)。 (b) 求相关系数 (X 1, X 2)。 (c) 确定在 X 1 = 12 条件下 (X 2, X 3, X 4, X 5, X 6) 的条件分布，并求 E[X 2 \mid X 1 = 12]。概率困难derivation未尝试免费214泊松稀释与分流独立性设 N \sim Poisson ( )。每个事件独立地以概率 p 被分为第1类，以概率 1-p 被分为第2类。令 N 1, N 2 分别为两类事件的计数。 (a) 推导 N 1 的边际分布。 (b) 推导联合 PMF P(N 1 = j, N 2 = k)，并证明 N 1 与 N 2 独立。 (c) 某网站每小时页面浏览量为 = 200。每位访客独立地以概率 p = 0.03 转化（购买）。求一小时内恰好有4次转化的概率，以及在总浏览量不超过210的条件下至少有1次转化的概率。概率困难derivation未尝试免费