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非代码面试题
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215通过概率母函数求骰子总和的分布设 X 1, X 2, \ldots, X n 为公平 d 面骰子的独立掷骰结果，每个 X i 均匀分布于 \ 1, 2, \ldots, d\ 。令 S n = X 1 + \cdots + X n。 (a) 推导 G X 1 (s) = E[s X 1 ] 的闭式表达式。 (b) 写出 S n 的 PGF 并由此推导 E[S n] 和 Var (S n)。 (c) 对于 n = 3 个公平六面骰子（d = 6），用 PGF 求 P(S 3 = 10)。 (d) 解释系数提取方法与经典的隔板法加容斥原理之间的联系。概率困难derivation未尝试免费427利用无记忆性求条件期望设 X \sim Exp (2)。利用无记忆性质，求 E[X \mid X > 3]。概率简单数值题未尝试免费429几何次几何试验赌徒进行若干轮游戏。每轮中抛一枚 P( 正面 ) = p 的硬币直到出现正面，该轮抛掷次数为 Geom (p)。轮数本身为 Geom (q)（与抛硬币独立）。设 S 为总抛掷次数。利用几何分布的无记忆性，证明 S \sim Geom (pq) 并求 E[S]。概率中等derivation未尝试免费431几何分布超过阈值的条件计算设 X \sim Geom (1/4)（首次成功的试验次数）。利用几何分布的无记忆性，求 (i) E[X \mid X > 5]，(ii) P(X > 8 \mid X > 5)。概率简单数值题未尝试免费433存活指数变量的条件方差设 X \sim Exp ( )。利用无记忆性求 Var (X \mid X > t)（t > 0）。条件于存活是否改变方差？对 =5, t=2 给出数值。概率中等数值题未尝试免费436指数无记忆性的直接应用放射性原子寿命 X \sim Exp (1/2)。已知原子在 t=3 时仍存活，求其存活超过 t=7 的概率。概率简单数值题未尝试免费437连续失败后的全新开始抛一枚 P( 正面 )=1/3 的硬币直到正面。已知前 8 次均为反面，从第 9 次起还需多少次的期望？概率简单数值题未尝试免费441三个相同指数变量的最小值设 X 1,X 2,X 3 独立，均为 Exp (4)。求 M = \min(X 1,X 2,X 3) 的分布和 E[M]。再由无记忆性求 E[M \mid M > 2]。概率简单数值题未尝试免费446几何分布的条件存活概率反复掷骰子直到掷出 6。设 N 为所需次数。已知前 5 次未掷出 6，求总次数超过 10 的概率。概率简单数值题未尝试免费447无记忆的公交车公交车到站时间为 Exp (1/10)（均值 10 分钟）。你已等了 5 分钟。期望还需等多久？概率简单数值题未尝试免费449无记忆消息中继链消息经 2 个中继节点传递。每个节点独立地以 Geom (1/3) 次尝试转发，每次尝试有 1/5 概率永久故障。求 (i) 消息到达目的地的概率，(ii) 在消息到达条件下两节点总尝试次数的期望。概率中等数值题未尝试免费451硬币翻转计数的正态近似一枚公平硬币独立抛掷 n = 400 次。设 S 为正面朝上的总次数。利用中心极限定理，近似求 P(190 \le S \le 210)。 可使用 \Phi(1) \approx 0.8413，其中 \Phi 为标准正态分布函数。概率简单数值题未尝试免费456生产批次中的缺陷品某工厂独立生产产品，每件缺陷概率 p = 0.03。检验一批 n = 500 件产品，设 D 为缺陷品数。 用中心极限定理近似 P(D \le 20)。 可使用 \Phi(1.30) \approx 0.9032。概率简单数值题未尝试免费459正态近似中的连续性修正设 S \sim Bin (200, 0.45)。用带连续性修正的 CLT 近似 P(S = 85)。 提示：对离散整数随机变量，P(S = k) \approx \Phi\! ( k+0.5- ) - \Phi\! ( k-0.5- )。 可使用：\Phi(-0.64) \approx 0.2611，\Phi(-0.78) \approx 0.2177。概率中等数值题未尝试免费461公平骰子之和的 CLT 近似掷 100 个独立公平六面骰子，设 S 为点数之和。 用 CLT 近似 P(340 \le S \le 380)。 可使用 \Phi(0.58) \approx 0.7190，\Phi(1.75) \approx 0.9599。概率简单数值题未尝试免费467对称随机游走位移的 CLT 近似粒子进行对称随机游走：每步 X i = \pm 1（等概率），独立。n=400 步后位置 S 400 = X i。 **(a)** LLN 对 S n/n 有何保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P(S 400 > 10)。 可使用 \Phi(0.50) \approx 0.6915。概率中等数值题未尝试免费471二项分布尾部与连续性修正公平硬币抛 n=144 次，S 为正面次数。 **(a)** 不带连续性修正，用 CLT 近似 P(S \ge 80)。 **(b)** 带连续性修正重复。 可使用 \Phi(1.33) \approx 0.9082，\Phi(1.25) \approx 0.8944。概率简单数值题未尝试免费476四状态链的击中时间考虑状态空间 \ 0,1,2,3\ 上的马尔可夫链，转移概率为： p(0,1)=1,\; p(1,0)=\tfrac 1 3 ,\; p(1,2)=\tfrac 2 3 ,\; p(2,1)=\tfrac 1 2 ,\; p(2,3)=\tfrac 1 2 ,\; p(3,3)=1. 从状态 0 出发，求首次到达状态 3 的期望步数。概率简单数值题未尝试免费481带跳跃转移的击中时间马尔可夫链在 \ 0,1,2,3,4\ 上运动。状态 i（1 \le i \le 3）以概率 1/2 向左、1/2 向右。状态 4 以概率 1 跳到状态 2。状态 0 吸收。求 E[T 0 \mid X 0 = 2]。概率简单数值题未尝试免费486带确定性回跳的三状态首达时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ 上：p(0,1)=1，p(1,0)=2/5，p(1,2)=3/5，p(2,2)=1。求 E[T 2 \mid X 0=0]。概率简单数值题未尝试免费