GLOBAL SEARCH

搜索课程、模块、题目与收藏题单

搜索在服务端完成，题目解析与答案不会进入搜索结果。登录后可搜索自己的收藏题单。

全部 · 4546课程 · 299模块 · 72题目 · 4169帮助 · 6收藏题单 · 0

找到 30 个结果

English questions
题目5937 · 概率

指数分布报价下的保留工资

工作机会依次独立到来，每个为速率 1 的指数随机变量（均值 1）。每个机会后你要么接受（并停止），要么永久拒绝并支付搜索成本 c = 0.2 以看下一个；无截止期。求最优稳态保留水平 a（高于它就接受），以及该策略下你最终接受的期望工资。

打开 →
题目227 · 概率

指数分布的无记忆性

设 $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$。证明对所有 $s, t \geq 0$ 有 $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$。再证指数分布是唯一具有此性质的连续分布。

打开 →
题目243 · 概率

指数分布的逆变换抽样法

设 $U \sim \text{Uniform}(0,1)$。 (a) 对于具有严格递增 CDF $F$ 的连续随机变量 $X$，证明 $F(X) \sim \text{Uniform}(0,1)$。 (b) 利用 (a) 的结论，论证 $X = F^{-1}(U)$ 的 CDF 为 $F$。 (c) 对 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$，其 CDF 为 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$（$x \geq 0$），显式推导 $F^{-1}$，并写出由均匀样本生成指数样本的公式。

打开 →
题目2859 · 概率

指数样本均值的 MGF

设 $X_1,\dots,X_n$ 为相互独立同分布的指数随机变量，率参数为 $\beta$，并记 \[ \bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i. \] 求 $\bar X_n$ 的 MGF，并由此恢复 $E[\bar X_n]$ 和 $\mathrm{Var}(\bar X_n)$。

打开 →
题目450 · 概率

指数竞赛中的先发优势

设 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$，$Y \sim \operatorname{Exp}(\mu)$ 独立。A 在时刻 $X$ 完成，B 在时刻 $Y + c$（$c > 0$）完成。 (a) 推导 $P(X < Y + c)$。 (b) 当 $c \to 0$ 时恢复标准竞争指数公式。 (c) 对 $\lambda=3, \mu=2, c=1$ 求值并解释。

打开 →
题目1638 · 统计

指数等待时间模型的极大似然估计

10 个相互独立的中间价跳变等待时间总和为 25 秒。假设每个等待时间都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$。 请求出 $\lambda$ 的极大似然估计，并在拟合模型下给出等待时间的中位数。

打开 →
题目2842 · 概率

指数跳幅的复合泊松和

理赔笔数满足 $N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$。理赔金额 $X_1,X_2,\dots$ 相互独立同分布，且服从参数为 $\beta$ 的指数分布，并与 $N$ 独立。记 $S=\sum_{i=1}^N X_i$。求 $S$ 的 MGF，并计算 $E[S]$ 和 $\mathrm{Var}(S)$。

打开 →
题目2864 · 概率

指数随机强度对应几何计数

潜在强度 $\Lambda$ 服从率参数为 $\beta$ 的指数分布。在给定 $\Lambda$ 的条件下，计数变量 $N$ 服从 $\mathrm{Poisson}(\Lambda)$。用 MGF 判断 $N$ 的无条件分布，并计算 $E[N]$。

打开 →
题目231 · 概率

指数分布的 CDF 与尾部概率

设 $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$，其 PDF 为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x \geq 0$）。 (a) 推导 CDF $F(x) = P(X \leq x)$。 (b) 若 $\lambda = \frac{1}{2}$，计算 $P(X > 3)$。

打开 →
题目383 · 概率

指数变量的倒数变换

设 $X \sim \operatorname{Exp}(1)$，令 $Y = \dfrac{1}{1+X}$。 (a) 利用换元公式推导 $Y$ 的概率密度函数。 (b) 计算 $E[Y]$。

打开 →
题目2883 · 概率

指数和的 Chernoff 上界

设 $S=X_1+\cdots+X_k$，其中 $X_i\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathrm{Exponential}(1)$。请利用 MGF 推导当 $a>k$ 时 $P(S\ge a)$ 的 Chernoff 上界。

打开 →
题目452 · 概率

指数服务时间的样本均值

一台服务器处理 $100$ 个独立请求，每个请求时间 $\operatorname{Exp}(1)$（均值 $1$ 秒）。设 $\bar{T} = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} T_i$。 **(a)** 陈述大数定律对 $\bar{T}$（$n \to \infty$ 时）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 $P(\bar{T} > 1.2)$。可使用 $\Phi(2) \approx 0.9772$。

打开 →
题目445 · 概率

指数混合分布的无记忆性失效

设 $X$ 的密度为 $f(x) = \frac{1}{2}e^{-x} + \frac{5}{2}e^{-5x}$（$\operatorname{Exp}(1)$ 和 $\operatorname{Exp}(5)$ 的等权混合）。 (a) 求 $P(X>s+t \mid X>s)$ 并证明其依赖于 $s$。 (b) 计算 $P(X>2 \mid X>1)$ 并与 $P(X>1)$ 比较。 (c) 解释：当 $s$ 增大时条件分布如何变化？

打开 →