题目3237 · 统计
为什么后验均值会变而 MLE 不会
某交易台只观察到了 4 次新的违约事件，研究的是一个很罕见的违约率。加入一个较强的历史 Beta 先验后，Bayesian 的后验均值明显低于样本比例；而 frequentist 的 MLE 却恰好等于样本比例。为什么这两个答案可以合理不同？它们各自是在什么条件下做推断？
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English questions题目1636 · 统计
Bernoulli 信号命中率的极大似然估计
某个二元交易信号在最近 80 个交易日中有 44 天为正收益。将每天是否赚钱建模为相互独立的 Bernoulli$(p)$ 结果。 请先求 $p$ 的极大似然估计，再在该估计下给出未来 3 天都赚钱的概率。
打开 →题目1645 · 统计
Laplace 位置参数的极大似然估计
设短周期定价误差服从 i.i.d. Laplace$(\mu,b)$，其中尺度参数已知为 $b=2$，密度与 $e^{-|x-\mu|/2}$ 成正比。样本为 $$-1,\;0,\;2,\;2,\;3,\;5,\;7。$$ 请给出 $\mu$ 的极大似然估计。
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Pareto 尾部指数的极大似然估计
设大额执行滑点的绝对值服从已知尺度 $x_m=1$、未知尾指数 $\alpha$ 的 Pareto 分布，其密度为 $$f(x)=\alpha x^{-\alpha-1}, \qquad x\ge 1.$$ 若 $n=8$ 个观测满足 $$\sum_{i=1}^8 \log X_i = 12,$$ 请先求 $\alpha$ 的极大似然估计，再估计拟合模型下 $P(X>10)$。
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Poisson 订单到达强度的极大似然估计
某交易场所在连续 40 分钟内记录到 120 次子单到达。假设到达过程服从强度为 $\lambda$（单位：每分钟）的齐次 Poisson 过程。 请先求 $\lambda$ 的极大似然估计，再给出拟合模型下下一分钟没有任何到达的概率。
打开 →题目1642 · 统计
三状态多项分布模型的极大似然估计
一个市场状态模型有三种情形：平稳、趋势和失衡，对应概率为 $(p_1,p_2,p_3)$。在 100 个交易日中，观测到 20 天平稳、30 天趋势、50 天失衡。 请给出 $(p_1,p_2,p_3)$ 的极大似然估计。
打开 →题目1641 · 统计
几何分布成功概率的极大似然估计
某策略会不断重复尝试，直到第一次得到盈利成交。记 $X$ 为第一次成功前所需的尝试次数，取值为 $1,2,\ldots$，并假设 $X\sim \mathrm{Geometric}(p)$。 若大量独立样本的样本均值为 $4$，请给出 $p$ 的极大似然估计；在该拟合下，至少需要 4 次尝试的概率是多少？
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均匀分布上界的极大似然估计
设 5 个独立样本来自 $\mathrm{Uniform}(0,\theta)$，其中样本最大值为 $7.4$。 请先求 $\theta$ 的极大似然估计，再给出拟合分布的中位数估计。
打开 →题目1649 · 统计
已知形状参数时 Gamma 尺度的极大似然估计
设成交持续时间服从形状参数已知为 $k=3$、尺度参数未知为 $\theta$ 的 Gamma 分布。在这一参数化下，有 $$E[X]=k\theta。$$ 若样本均值为 $12$，请给出 $\theta$ 的极大似然估计。
打开 →题目1644 · 统计
已知形状参数时 Weibull 尺度的极大似然估计
设执行延迟服从 Weibull 分布，已知形状参数 $k=2$、未知尺度参数 $\lambda$，其密度为 $$f(x)=\frac{2x}{\lambda^2}e^{-(x/\lambda)^2}, \qquad x>0.$$ 若 $n=10$ 个观测满足 $$\sum_{i=1}^{10} X_i^2 = 90,$$ 请给出 $\lambda$ 的极大似然估计。
打开 →题目1650 · 统计
已知方差正态模型中的不变性估计
设 $X_1,\dots,X_{25}\sim N(\mu,4)$ 独立同分布，样本均值为 $\bar X=1.2$。 请先求 $\mu$ 的极大似然估计，再利用不变性给出 $e^{\mu}$ 的估计。
打开 →题目1646 · 统计
带右删失的指数模型极大似然估计
某交易场所研究下一次价差扩大的等待时间。8 个观测窗口都最多跟踪 5 秒，其中 5 个窗口在 5 秒内发生了事件，另外 3 个窗口在 5 秒处右删失。所有窗口累计暴露时间总和为 40 秒。 假设事件时间独立且服从 $\mathrm{Exp}(\lambda)$，请给出 $\lambda$ 的极大似然估计。
打开 →题目1638 · 统计
指数等待时间模型的极大似然估计
10 个相互独立的中间价跳变等待时间总和为 25 秒。假设每个等待时间都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$。 请求出 $\lambda$ 的极大似然估计，并在拟合模型下给出等待时间的中位数。
打开 →题目1648 · 统计
无截距高斯回归中的极大似然估计
设观测满足 $$Y_i = \beta X_i + \varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i\stackrel{iid}{\sim}N(0,\sigma^2),$$ 其中没有截距项，误差为已知方差的高斯噪声。已知 $$\sum X_iY_i = 48, \qquad \sum X_i^2 = 16。$$ 请给出 $\beta$ 的极大似然估计。
打开 →题目1639 · 统计
正态模型中均值与方差的联合极大似然估计
设 $X_1,\dots,X_9$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$。样本给出的统计量为 $$\bar X = 5, \qquad \sum_{i=1}^9 (X_i-\bar X)^2 = 18.$$ 请求出 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的极大似然估计。
打开 →题目1647 · 统计
由对数样本统计量求对数正态模型的极大似然估计
设正的持有期乘数服从对数正态分布：若 $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$，则 $\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$。样本量为 12，且给出 $$\overline{\log X} = 0.3, \qquad \sum_{i=1}^{12}(\log X_i-0.3)^2 = 10.8。$$ 请先求 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 的极大似然估计，再给出 $X$ 的拟合中位数。
打开 →题目2388 · 数学
为什么稀有事件会导致巨大的 Monte Carlo 噪声 18
为什么稀有事件型 payoff 的 Monte Carlo 估计会非常不稳定，即使大多数路径看起来都很正常？
打开 →题目2708 · 机器学习
为什么股票池选择也是搜索树的一部分
为什么改变可交易股票池应该被视为研究搜索树上的一个额外分支，而不是无害的背景设定？
打开 →题目4188 · 机器学习
为什么虚拟变量陷阱不只是编码小错误
为什么虚拟变量陷阱并不只是一个无伤大雅的编码疏忽？
打开 →题目2521 · 机器学习
仅截距 logistic 的极大似然估计 1
对于一个仅含截距的 logistic 模型，若样本中有 n_1 个正类、n_0 个负类，什么样的拟合概率 p_hat 会最大化对数似然？
打开 →题目2457 · 机器学习
在交叉验证之前一次性拟合 PCA
某个笔记本先在全特征矩阵上做 PCA，再把得到的主成分送进每个交叉验证折。为什么这不是无害的提速优化？
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