题目6027 · 统计
GARCH(1,1) 何时退化为 EWMA
RiskMetrics 的 EWMA 方差更新为 $h_t=(1-\lambda)r_{t-1}^2+\lambda h_{t-1}$。请给出使 GARCH(1,1) 与 EWMA 完全一致的 $(\omega,\alpha,\beta)$ 约束，并在 $\alpha=0.06$ 时给出对应的 $\lambda$（以小数表示）。
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English questions题目6028 · 统计
厚尾：GARCH 收益的无条件峰度
设 $r_t=\sqrt{h_t}\,z_t$，$z_t\sim N(0,1)$ i.i.d.，方差服从 GARCH(1,1)。当峰度有限时，无条件峰度为 $K=\dfrac{3[1-(\alpha+\beta)^2]}{1-(\alpha+\beta)^2-2\alpha^2}$。取 $\alpha=0.1$、$\beta=0.85$，求 $K$ 并判断收益是否尖峰厚尾。$K$ 以小数作答。
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平稳 GARCH 过程的长期方差
考虑 GARCH(1,1) 模型 $h_t=\omega+\alpha r_{t-1}^2+\beta h_{t-1}$， 其中 $\omega=\frac{1}{10}$、$\alpha=\frac{1}{5}$、$\beta=\frac{3}{5}$。假设 $\alpha+\beta<1$，求无条件方差 $E[h_t]$。
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由 GARCH 参数求长期波动率（而非方差）
GARCH(1,1) 模型 $h_t=\omega+\alpha r_{t-1}^2+\beta h_{t-1}$ 的参数为 $\omega=0.04$、$\alpha=0.12$、$\beta=0.80$，其中 $h_t$ 为日收益的条件方差。请以小数给出长期（无条件）日波动率 $\sqrt{\bar h}$。
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由日度 GARCH 参数得到稳态方差
考虑 GARCH(1,1) 模型 $h_t=\omega+\alpha r_{t-1}^2+\beta h_{t-1}$， 其中 $\omega=1$、$\alpha=\frac{1}{10}$、$\beta=\frac{4}{5}$。假设 $\alpha+\beta<1$，求无条件方差 $E[h_t]$。
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该 GARCH 是否有有限长期方差
对参数为 $\omega=\frac{1}{5}$、$\alpha=\frac{1}{4}$、$\beta=\frac{3}{4}$ 的 GARCH(1,1) 模型，判断其是否具有有限的无条件方差；若有，求出该值。
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ARCH(1) 作为 beta=0 的特例
当 $\beta=0$ 时，GARCH(1,1) 退化为 ARCH(1)：$h_t=\omega+\alpha r_{t-1}^2$。取 $\omega=0.7$、$\alpha=0.3$，以小数求无条件方差 $\bar h$。
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两日后方差均值
考虑 GARCH(1,1) 过程，参数为 $\omega=1$、$\alpha=\frac{1}{10}$、$\beta=\frac{4}{5}$。已知一步前瞻条件方差 $h_{t+1}=5$。求 $E_t[h_{t+2}]$ 与 $E_t[h_{t+3}]$。
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中等收益下的波动率更新
在 GARCH(1,1) 模型中，参数为 $\omega=1$、$\alpha=\frac{3}{20}$、$\beta=\frac{3}{5}$。已知当前平方收益 $r_t^2=4$，当前条件方差 $h_t=5$。求 $h_{t+1}$。
打开 →题目3101 · 统计
从今日方差出发的两步预测
考虑 GARCH(1,1) 过程，参数为 $\omega=\frac{1}{10}$、$\alpha=\frac{1}{5}$、$\beta=\frac{3}{5}$。已知一步前瞻条件方差 $h_{t+1}=2$。求 $E_t[h_{t+2}]$ 与 $E_t[h_{t+3}]$。
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大冲击后的次日方差
在 GARCH(1,1) 模型中，参数为 $\omega=\frac{1}{10}$、$\alpha=\frac{1}{5}$、$\beta=\frac{7}{10}$。已知当前平方收益 $r_t^2=4$，当前条件方差 $h_t=2$。求 $h_{t+1}$。
打开 →题目3106 · 统计
当 alpha+beta=0.8 时的半衰期
在 GARCH 型波动率递推中，偏离长期方差的部分每一步大约按因子 $\rho=\alpha+\beta=\frac{4}{5}$ 衰减。该偏离的半衰期是多少？
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持续性与协方差平稳判定
某 GARCH(1,1) 模型 $\alpha=0.20$、$\beta=0.75$。求持续性 $\alpha+\beta$，并判断该过程是否协方差平稳（即是否具有有限且不随时间变化的无条件方差）。持续性请以小数作答。
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用均值回复公式做五步预测
GARCH(1,1) 参数 $\omega=0.2$、$\alpha=0.1$、$\beta=0.8$，一步前瞻条件方差 $h_{t+1}=3$。利用闭式 $E_t[h_{t+k}]=\bar h+(\alpha+\beta)^{k-1}(h_{t+1}-\bar h)$，以小数求五步前瞻预测 $E_t[h_{t+5}]$。
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由带符号收益做新闻冲击更新
GARCH(1,1) 参数 $\omega=0.00001$、$\alpha=0.08$、$\beta=0.90$。今日条件方差 $h_t=0.0004$，今日收益 $r_t=-0.03$。以小数求次日条件方差 $h_{t+1}$。
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