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非代码面试题
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471二项分布尾部与连续性修正公平硬币抛 n=144 次，S 为正面次数。 **(a)** 不带连续性修正，用 CLT 近似 P(S \ge 80)。 **(b)** 带连续性修正重复。 可使用 \Phi(1.33) \approx 0.9082，\Phi(1.25) \approx 0.8944。概率简单数值题未尝试免费472给定估计精度的最小样本量随机变量 X 均值 =5，标准差 =2。观测 n 个独立副本。 用 CLT 求最小 n 使得 P(| X n - 5| > 0.3) < 0.05。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975。概率简单数值题未尝试免费473等权组合负收益概率的 CLT 估计等权组合含 n=50 只股票，各自年化收益独立， =0.08， =0.20。组合收益 R = 1 50 R i。 **(a)** LLN 对 R 的保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P( R < 0)。 可使用 \Phi(2.83) \approx 0.9977。概率中等数值题未尝试免费474尾部概率保证的最小样本量设 X i 为 i.i.d. Exp (1)。设计师要求 P( X n > 1.1) < 0.01。 用 CLT 求满足条件的最小 n。 可使用 \Phi(2.33) \approx 0.9901。概率中等数值题未尝试免费475Slutsky 定理与估计方差下的 CLT设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d.（均值 ，方差 2），S n 2 为样本方差，T n = n ( X n - )/S n。 **(a)** 用 LLN 和 Slutsky 定理证明 T n \xrightarrow d N(0,1)。 **(b)** n=100， X =12.5，S=3.0，\mu 0=12。近似 P( X >12.5)。 可使用 \Phi(1.67) \approx 0.9525。概率困难derivation未尝试免费2866日内滑点的 Markov 上界一个非负滑点随机变量 L 满足均值 E[L]=2 个基点。请给出 P(L\ge 10) 的最佳 Markov 上界。概率简单derivation未尝试面试订阅2867由四阶矩得到的广义 Markov 上界设 X 是任意随机变量，且 E[X 4]=81。请把 Markov 不等式用在一个合适的非负随机变量上，给出 P(|X|\ge 6) 的上界。概率中等derivation未尝试面试订阅2868由 Markov 推导 Chebyshev请从 Markov 不等式推出 Chebyshev 不等式。也就是说，证明对任意均值为 、方差为 2 的随机变量 X， \[ P(|X- |\ge a)\le 2 a 2 . \]概率简单derivation未尝试面试订阅2869Monte Carlo 均值的 Chebyshev 上界某个无偏 Monte Carlo 估计量是 n=100 个独立同分布样本的平均值，每个样本的方差为 9。用 Chebyshev 不等式给出样本均值偏离真实目标至少 0.5 的概率上界。概率简单derivation未尝试面试订阅2870这里哪种上界更好？设非负随机变量 X 满足 E[X]=1 且 Var (X)=4。请比较对 P(X\ge 5) 的 Markov 上界与 Chebyshev 上界，并说明哪一个更紧。概率中等derivation未尝试面试订阅2871Bernoulli 均值的 Hoeffding 上界设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的 Bernoulli(p) 随机变量，样本均值记为 X n。用 Hoeffding 不等式给出 \[ P( X n-p\ge \varepsilon) \] 的上界。概率简单derivation未尝试面试订阅287299% 置信度下需要多少次 Bernoulli 试验？你用 n 个独立 Bernoulli 样本的均值来估计成功概率。若只使用 Hoeffding 不等式，要保证 \[ P(| X n-p|\ge 0.02)\le 0.01, \] n 至少需要多大？概率中等derivation未尝试面试订阅2873100 次抛硬币出现至少 65 次正面：Hoeffding 与 Chebyshev 的比较一枚公平硬币被抛掷 100 次。请比较在“正面比例至少为 0.65”这一事件上，Hoeffding 上界与 Chebyshev 上界分别是多少。概率中等derivation未尝试面试订阅2874有界日度盈亏的 Hoeffding 上界设日度中心化盈亏增量 X 1,\dots,X 50 相互独立，并且几乎处处落在区间 [-2,3]。请用 Hoeffding 不等式上界 \[ P\! ( 1 50 \sum i=1 50 X i\ge 0.5 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2875有界收益的 Monte Carlo 定价误差某个 Monte Carlo 定价器对 500 个独立同分布的贴现收益样本取平均，每个样本都落在 [0,1]。用 Hoeffding 不等式上界估计价格与真实价格相差至少 0.05 的概率。概率简单derivation未尝试面试订阅2876由 MGF 假设推出次高斯尾界设中心化随机变量 X 满足 \[ E[e tX ]\le e 2 t 2/2 \qquad 对所有 t\in R. \] 请用指数型 Markov 不等式证明 \[ P(X\ge x)\le e -x 2/(2 2) . \]概率中等derivation未尝试面试订阅2877Rademacher 和的上尾界设 X 1,\dots,X 100 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用 Chernoff 风格的上界估计 \[ P (\sum i=1 100 X i\ge 20 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2878泊松上尾的乘法型 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明对任意 >0， \[ P(N\ge (1+ ) )\le \exp\! (- \bigl((1+ )\ln(1+ )- \bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2879数值化的泊松过载上界某交易网关在固定时间窗内收到的消息数满足 N\sim Poisson (100)。请用泊松上尾的 Chernoff 上界估计 P(N\ge 130)。概率中等derivation未尝试面试订阅2880泊松下尾 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明当 0< <1 时， \[ P(N\le (1- ) )\le \exp\! (- \bigl( +(1- )\ln(1- )\bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅