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非代码面试题
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086生日悖论假设生日在365天中均匀分布（忽略闰年）。(a) 23人的房间里至少两人同一天生日的精确概率是多少？(b) 推导一个简单的近似公式，求使同生日概率超过 1/2 所需的人数 n。(c) 一个交易台有50名交易员，经理声称有两名交易员同一天生日是'非凡的巧合'。经理说得对吗？计算概率并评论。概率简单数值题未尝试免费153生日碰撞概率与指数近似房间里有50人，每人的生日独立均匀分布在 \ 1, 2, \ldots, 365\ 上。 (a) 写出至少两人同天生日的精确概率。 (b) 利用不等式 1-x \le e -x 导出 P( 全不同 ) 的一个上界并化简。该近似与精确值相比如何？概率中等derivation未尝试免费220通过特征函数证明二项分布的泊松极限设 X n \sim Binomial (n, /n)， > 0 固定。 (a) 写出 \varphi X n (t) 的闭式。 (b) 证明 \lim n \varphi X n (t) = e (e it -1) 。 (c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。 (d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。 (e) =5，n=100 时，用精确二项和泊松近似分别计算 P(X n=3)，求相对误差。概率困难derivation未尝试免费344用 Delta 方法近似比率的方差设 X 和 Y 独立，E[X] = 10， Var (X) = 4，E[Y] = 5， Var (Y) = 1。利用 Delta 方法（一阶 Taylor 展开）推导 Var (X/Y) 的近似公式并求数值。概率困难derivation未尝试免费454偏态伯努利和的Berry-Esseen界设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Bernoulli (0.01)，n = 10 , 000，S n = X i。 **(a)** 用 CLT 近似 P(S n \le 80)。 **(b)** Berry-Esseen 定理：\sup x |P(Z n \le x) - \Phi(x)| \le C 3 n ，其中 = E[|X 1 - | 3]，C \le 0.4748。计算 (a) 的近似误差上界。 可使用 \Phi(-2) \approx 0.0228。概率中等derivation未尝试免费455随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理设 X 1, X 2, \ldots 为 i.i.d.，P(X i=1) = P(X i=0) = 1/2。定义 Y n = (\prod i=1 n (1+X i) ) 1/n . **(a)** 求 \lim n Y n（几乎必然）。 **(b)** 对 n=200，用 CLT 近似 P(Y 200 > 1.45)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(1.02) \approx 0.8461。概率困难derivation未尝试免费459正态近似中的连续性修正设 S \sim Bin (200, 0.45)。用带连续性修正的 CLT 近似 P(S = 85)。 提示：对离散整数随机变量，P(S = k) \approx \Phi\! ( k+0.5- ) - \Phi\! ( k-0.5- )。 可使用：\Phi(-0.64) \approx 0.2611，\Phi(-0.78) \approx 0.2177。概率中等数值题未尝试免费460样本均值平方根的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Exp (4)（E[X i] = 1/4， Var (X i) = 1/16）。定义 T n = X n 。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (T n - ) 的渐近分布。 **(b)** 当 n = 256 时，近似 P(T 256 > 0.525)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费464Gamma 样本均值对数的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Gamma (2,1)（E[X i]=2， Var (X i)=2）。定义 W n = \ln( X n)。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (W n - \ln 2) 的渐近分布。 **(b)** n = 200 时，近似 P(W n < 0.6)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(-1.86) \approx 0.0314。概率困难derivation未尝试免费465均匀随机变量和的 Berry-Esseen 界设 U 1, \ldots, U n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，S n = U i。Berry-Esseen 定理给出 \sup x |P((S n - n/2)/( n ) \le x) - \Phi(x)| \le C /( 3 n ), 其中 C \le 0.4748。 **(a)** 精确计算 = E[|U i - 1/2| 3]。 **(b)** 求 n=50 时的 Berry-Esseen 界。 **(c)** n 至少多大才能使界低于 0.01？概率困难derivation未尝试免费469随机乘数几何平均的 LLN 和 CLT投资每年乘以随机因子 X i（i.i.d.），P(X i=2)=P(X i=4)=1/2。n 年后年化增长因子为几何平均 G n = ( X i) 1/n 。 **(a)** 求 \lim n G n（a.s.）。 **(b)** n=100 时，用 CLT 近似 P(G 100 > 3)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\ln 3 \approx 1.0986，\Phi(1.70) \approx 0.9554。概率困难derivation未尝试免费470样本中位数的渐近分布设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，M n 为样本中位数。渐近理论给出 n (M n - m) \xrightarrow d N(0, 1/(4[f(m)] 2))。 **(a)** 对 Uniform (0,1)，求 m、f(m) 及渐近方差。 **(b)** n=400 时，近似 P(M 400 > 0.54)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费475Slutsky 定理与估计方差下的 CLT设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d.（均值 ，方差 2），S n 2 为样本方差，T n = n ( X n - )/S n。 **(a)** 用 LLN 和 Slutsky 定理证明 T n \xrightarrow d N(0,1)。 **(b)** n=100， X =12.5，S=3.0，\mu 0=12。近似 P( X >12.5)。 可使用 \Phi(1.67) \approx 0.9525。概率困难derivation未尝试免费893双分段需求总量 3某预测把年流媒体小时拆成两段：A 段有 420000 个实体、每个发生 1.8 次；B 段有 90000 个实体、每个发生 4.2 次。合并后的年估计值是多少？脑筋急转弯中等数值题未尝试免费894双分段需求总量 4某预测把年在线咨询拆成两段：A 段有 15000 个实体、每个发生 2.5 次；B 段有 3000 个实体、每个发生 6 次。合并后的年估计值是多少？脑筋急转弯困难数值题未尝试面试订阅895双分段需求总量 5某预测把年实验样本拆成两段：A 段有 800 个实体、每个发生 13 次；B 段有 1200 个实体、每个发生 5 次。合并后的年估计值是多少？脑筋急转弯困难数值题未尝试面试订阅900隐含单位数量 5年充电会话被建模为：单位数 * 每单位每天 330 次事件 * 96 个活跃日。若年总量为 2851200，则隐含的单位数量是多少？脑筋急转弯困难数值题未尝试免费1385双腿基点净额 5同一笔名义本金 15000000 上有两条 PnL 腿：第一条贡献 5 个基点，第二条贡献 8 个基点。净美元 PnL 是多少？脑筋急转弯困难数值题未尝试免费1402交易所费率池 2交易台用“shares traded * fee per share”来近似估计每日成交费收入。若总量是 3.22 million，且 shares traded 为 9200000000，则隐含的 fee per share 是多少？脑筋急转弯简单数值题未尝试免费1403互换票据名义本金 3交易台用“trade count * average notional per trade”来近似估计单日处理的互换总名义本金。若两个输入分别为 145000 和 68 million，则估计值是多少？脑筋急转弯中等数值题未尝试免费