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090波雷尔悖论：对零测集事件的条件化设 (\Theta, \Phi) 在单位球面 S 2 上均匀分布，其中 \Theta \in [0, 2 ) 为经度，\Phi \in [0, ] 为余纬度，联合密度为 f( , \phi) = 1 4 \sin \phi。 (a) 以 \Theta 为条件变量，计算 \Phi 在 \Theta = 0 条件下的条件分布（即 f(\phi \mid = 0)）。 (b) 重新参数化：令 X = \cos(\Theta) \sin(\Phi)，Y = \sin(\Theta) \sin(\Phi)，Z = \cos(\Phi)。大圆 \ \Theta = 0\ 等价于 \ Y = 0, X 0\ 。计算 \Phi 在 Y = 0 且 X > 0 条件下的条件分布。与(a)的结果相同吗？ (c) 解释两个答案为何不同。这对'对零测集事件条件化'的含义有何启示？解决这一歧义的正确数学框架是什么？概率困难derivation未尝试免费230贝塔分布：推导、矩与联系考虑 Beta 分布，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( + ) \Gamma( )\Gamma( ) x -1 (1-x) -1 （x \in (0,1)）。 (a) 利用 Gamma 函数的积分表示，验证 \int 0 1 x -1 (1-x) -1 \,dx = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) ，从而证明 f 积分为 1。 (b) 推导 E[X] = + 和 Var (X) = ( + ) 2( + +1) 。 (c) 证明 Beta (1,1) 退化为 Uniform (0,1)。 (d) 若 Y 1 \sim Gamma ( ,1)、Y 2 \sim Gamma ( ,1) 独立，说明为何 Y 1 Y 1+Y 2 \sim Beta ( , )（无需完整证明）。概率困难derivation未尝试免费235从第一性原理推导卡方分布设 Z 1, \ldots, Z n 为 i.i.d. N(0,1) 随机变量，定义 Q = \sum i=1 n Z i 2。 (a) 利用连续随机变量的变量替换法，推导 Z 1 2 的 PDF。 (b) 将 (a) 的结果与 Gamma 族匹配，证明 Z 1 2 \sim Gamma ( 1 2 , 1 2 )。 (c) 利用相同速率参数的独立 Gamma 随机变量之和仍为 Gamma 的性质，写出 Q 的分布。 (d) 推导 E[Q] 和 Var (Q)。概率困难derivation未尝试免费238柯西分布均值的不存在性标准柯西分布的 PDF 为 f(x) = 1 (1 + x 2) ，x \in (- , )。 (a) 证明 E[|X|] 不存在：即证明 \int 0 x (1+x 2) \,dx 发散。 (b) 这对 X i i.i.d. 柯西时样本均值 X n = 1 n \sum i=1 n X i 的大数定律有何影响？概率中等derivation未尝试免费239两个独立标准正态之比服从柯西分布设 Z 1, Z 2 独立，均服从 N(0,1)。定义 R = Z 1/Z 2。 (a) 写出 (Z 1, Z 2) 的联合 PDF，利用变换 (Z 1, Z 2) \mapsto (R, Z 2) = (Z 1/Z 2,\, Z 2) 推导 (R, Z 2) 的联合 PDF。 (b) 对 Z 2 积分，得到 R 的边际 PDF。 (c) 辨认 R 的分布。概率困难derivation未尝试免费240从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数设 X \sim Gamma ( , 1)，Y \sim Gamma ( , 1) 独立。 (a) 定义 U = X X+Y ，V = X+Y。计算变换 (X,Y) \mapsto (U,V) 的雅可比行列式。 (b) 推导 (U,V) 的联合 PDF，并证明 U 与 V 独立。 (c) 识别 U 的边际分布，并证明 B( , ) = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) 。概率困难derivation未尝试免费243指数分布的逆变换抽样法设 U \sim Uniform (0,1)。 (a) 对于具有严格递增 CDF F 的连续随机变量 X，证明 F(X) \sim Uniform (0,1)。 (b) 利用 (a) 的结论，论证 X = F -1 (U) 的 CDF 为 F。 (c) 对 X \sim Exp ( )，其 CDF 为 F(x) = 1 - e - x （x 0），显式推导 F -1 ，并写出由均匀样本生成指数样本的公式。概率中等derivation未尝试免费244通过变量替换推导标准正态平方的分布设 X \sim N(0,1)。 (a) 变换 Y = X 2 不是单调的。用 CDF 方法，先计算 F Y(y) = P(X 2 y)，再求导得到 f Y(y)。 (b) 用非单调变量替换公式验证结果：当 Y = g(X) 有两个分支 x 1(y), x 2(y) 时，f Y(y) = \sum i=1 2 f X(x i(y)) |dx i/dy|。 (c) 辨认所得分布，并表示为 Gamma 分布。概率困难derivation未尝试免费246由独立正态推导瑞利分布设 X 和 Y 独立，均服从 N(0, 2)。定义 R = X 2 + Y 2 。 (a) 用 CDF 方法推导 R 在 r 0 上的 PDF。 (b) 指出该分布的名称并计算 E[R]。 (c) 当 = 1 时，数值计算 E[R] 和 Var (R)。概率简单derivation未尝试免费250折叠正态分布：|X| 的 PDF 与矩设 X \sim N( , 2)， 0。定义 Y = |X|。 (a) 推导 Y 在 y 0 上的 PDF。 (b) 证明 = 0 时 PDF 化简为半正态分布。 (c) 对一般的 , ，用 \phi 和 \Phi 表示 E[Y] 和 Var (Y)。 (d) 当 = 1， = 1 时数值计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率困难derivation未尝试免费376均匀随机变量的立方的分布设 X \sim Uniform (0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 3 的概率密度函数。概率简单derivation未尝试免费377均匀变量取指数后的分布（雅可比方法）设 X \sim Uniform (0,1)。利用换元（雅可比）公式求 Y = e X 的概率密度函数。概率简单derivation未尝试免费379两个指数变量最大值的分布与期望设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 M = \max(X,Y)。 (a) 推导 M 的概率密度函数。 (b) 计算 E[M]。概率中等数值题未尝试免费380两个独立指数变量之比的分布设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 R = X/Y。 (a) 利用变换 (R,S) = (X/Y,\,Y)，通过雅可比行列式求 f R,S ，再对 S 积分得到 R 的 PDF。 (b) 将 f R 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 P(R \le 1)。概率困难derivation未尝试免费381均匀变量取负对数得到指数分布设 X \sim Uniform (0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = -\ln X 的概率密度函数，并识别所得分布。概率简单derivation未尝试免费382标准正态变量的平方服从卡方(1)分布设 X \sim N(0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 2 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费383指数变量的倒数变换设 X \sim Exp (1)，令 Y = \dfrac 1 1+X 。 (a) 利用换元公式推导 Y 的概率密度函数。 (b) 计算 E[Y]。概率中等derivation未尝试免费384两个独立均匀变量乘积的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用变换 (W,V)=(XY,\,Y)，推导 W = XY 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费385Box-Muller 变换：从均匀到独立正态设 U 1, U 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，定义 Z 1 = -2\ln U 1 \,\cos(2 U 2),\quad Z 2 = -2\ln U 1 \,\sin(2 U 2). (a) 计算从 (Z 1,Z 2) 到 (U 1,U 2) 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 Z 1 和 Z 2 是独立的 N(0,1) 随机变量。概率困难derivation未尝试免费386正态随机变量的仿射变换设 X \sim N( , 2)，a 0，b \in R 。利用雅可比公式证明 Y = aX + b 服从正态分布，并给出其参数。概率简单derivation未尝试免费