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非代码面试题
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2863带批量大小的复合泊松订单流成交笔数满足 N\sim Poisson ( )。每笔成交对应一个批量大小 B，其取值为 0,1,2，概率分别为 1/2,1/3,1/6，并且不同成交之间以及与 N 之间都相互独立。记 \[ S=\sum k=1 N B k. \] 求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2864指数随机强度对应几何计数潜在强度 \Lambda 服从率参数为 的指数分布。在给定 \Lambda 的条件下，计数变量 N 服从 Poisson (\Lambda)。用 MGF 判断 N 的无条件分布，并计算 E[N]。概率中等derivation未尝试面试订阅2871Bernoulli 均值的 Hoeffding 上界设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的 Bernoulli(p) 随机变量，样本均值记为 X n。用 Hoeffding 不等式给出 \[ P( X n-p\ge \varepsilon) \] 的上界。概率简单derivation未尝试面试订阅2874有界日度盈亏的 Hoeffding 上界设日度中心化盈亏增量 X 1,\dots,X 50 相互独立，并且几乎处处落在区间 [-2,3]。请用 Hoeffding 不等式上界 \[ P\! ( 1 50 \sum i=1 50 X i\ge 0.5 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2875有界收益的 Monte Carlo 定价误差某个 Monte Carlo 定价器对 500 个独立同分布的贴现收益样本取平均，每个样本都落在 [0,1]。用 Hoeffding 不等式上界估计价格与真实价格相差至少 0.05 的概率。概率简单derivation未尝试面试订阅2876由 MGF 假设推出次高斯尾界设中心化随机变量 X 满足 \[ E[e tX ]\le e 2 t 2/2 \qquad 对所有 t\in R. \] 请用指数型 Markov 不等式证明 \[ P(X\ge x)\le e -x 2/(2 2) . \]概率中等derivation未尝试面试订阅2877Rademacher 和的上尾界设 X 1,\dots,X 100 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用 Chernoff 风格的上界估计 \[ P (\sum i=1 100 X i\ge 20 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2878泊松上尾的乘法型 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明对任意 >0， \[ P(N\ge (1+ ) )\le \exp\! (- \bigl((1+ )\ln(1+ )- \bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2880泊松下尾 Chernoff 上界设 N\sim Poisson ( )。证明当 0< <1 时， \[ P(N\le (1- ) )\le \exp\! (- \bigl( +(1- )\ln(1- )\bigr) ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2882指数分布变量的 Chernoff 上界优化设 X\sim Exponential (1)。请利用其 MGF 推导当 a>1 时 P(X\ge a) 的最佳 Chernoff 型上界。概率中等derivation未尝试面试订阅2883指数和的 Chernoff 上界设 S=X 1+\cdots+X k，其中 X i\overset i.i.d. \sim Exponential (1)。请利用 MGF 推导当 a>k 时 P(S\ge a) 的 Chernoff 上界。概率困难derivation未尝试面试订阅2884二项计数的乘法型 Chernoff 上界设 X\sim Binomial (n,p)，其均值为 =np。证明对任意 >0， \[ P(X\ge (1+ ) )\le ( e (1+ ) 1+ ) . \]概率困难derivation未尝试面试订阅2885带波动率代理的次高斯和设 X 1,\dots,X n 是相互独立的中心化随机变量，并且每个变量都满足 \[ E[e tX i ]\le e 2 t 2/2 \qquad 对所有 t\in R. \] 证明对 S n=\sum i=1 n X i， \[ P(S n\ge x)\le \exp\! (- x 2 2n 2 ). \]概率中等derivation未尝试面试订阅2886用指数型 Markov 推导高斯尾界设 Z\sim N(0, 2)。请利用高斯分布的 MGF 推导 Chernoff 上界 \[ P(Z\ge a)\le e -a 2/(2 2) . \]概率简单derivation未尝试面试订阅2887A/B 差值的集中上界你进行一个 A/B 测试，处理组与对照组各有 n 个独立 Bernoulli 观测。记样本均值为 X 和 Y。请用 Hoeffding 不等式给出 \[ P\bigl(( X- Y)-E[ X- Y]\ge \varepsilon\bigr) \] 的上界。概率中等derivation未尝试面试订阅