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非代码面试题
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200通过斯特林数求空盒子数的完整分布将6个可区分的球独立且均匀随机地投入5个可区分的盒子中。令 E 为空盒子的数量。推导 P(E=k) 对所有可能的 k 值的概率质量函数，将每个概率表示为精确分数。概率困难derivation未尝试免费213二项和分量的条件分布设 X \sim Binomial (m, p)，Y \sim Binomial (n, p)，且 X, Y 独立。 (a) S = X + Y 的分布是什么？说明理由。 (b) 推导条件 PMF P(X = k \mid S = s)。 (c) 指出该条件分布的名称和参数。解释为什么 p 在条件分布中消失了。 (d) 用数值例子验证：m = 10，n = 15，p = 0.4。计算 P(X = 3 \mid S = 8)。概率中等derivation未尝试免费214泊松稀释与分流独立性设 N \sim Poisson ( )。每个事件独立地以概率 p 被分为第1类，以概率 1-p 被分为第2类。令 N 1, N 2 分别为两类事件的计数。 (a) 推导 N 1 的边际分布。 (b) 推导联合 PMF P(N 1 = j, N 2 = k)，并证明 N 1 与 N 2 独立。 (c) 某网站每小时页面浏览量为 = 200。每位访客独立地以概率 p = 0.03 转化（购买）。求一小时内恰好有4次转化的概率，以及在总浏览量不超过210的条件下至少有1次转化的概率。概率困难derivation未尝试免费217负二项分布作为泊松–伽马混合设 \Lambda \sim Gamma (r, )，密度为 f \Lambda( ) = r \Gamma(r) r-1 e - ，且 X \mid \Lambda = \sim Poisson ( )。 (a) 写出 P(X=k \mid \Lambda= )，并通过对 \Lambda 积分计算边际 PMF P(X=k)。 (b) 证明 P(X=k) = \binom k+r-1 k p k(1-p) r（p=1/(1+ )），并识别此分布。 (c) 利用全期望和全方差公式求 E[X] 和 Var (X)。 (d) 验证：r=3， =4，计算 P(X=2) 和 E[X]。概率中等derivation未尝试免费218通过几何等待时间求解赠券收集问题麦片盒中含有 n 种等概率的赠券之一。你逐盒购买，每次独立。设 T 为集齐所有 n 种赠券所需的盒数。 (a) 定义 T i 为从已有 i-1 种到获得第 i 种所需的额外盒数。T i 服从什么分布？ (b) 用 T 1, \ldots, T n 表达 T，并利用期望的线性性推导 E[T]。 (c) 证明 E[T] = n H n。 (d) 计算 n = 10 时的 E[T]。 (e) 利用 T 1, \ldots, T n 的独立性推导 Var (T)。概率中等derivation未尝试免费287扑克牌中的同点数对从标准 52 张扑克牌中均匀随机抽取 5 张。同点数对是指手牌中点数相同的无序二元组（例如两张 K）。求手牌中同点数对个数的期望值。概率简单数值题未尝试免费295随机排列中的循环数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。求 的循环分解中循环个数的期望值，将答案表示为 n 的一个常见函数。概率困难derivation未尝试免费296抛硬币中的正反面转换独立抛一枚公平硬币 n 次。位置 i（1 \le i \le n-1）处发生转换是指第 i 次和第 i+1 次结果不同（一次正面一次反面）。求转换次数的期望值。概率简单derivation未尝试免费297群体中的不同生日天数n 个人的生日各自独立且均匀地取自 365 天。若至少有一人在某天过生日，则称该天被占据。求被占据天数的期望值。概率简单derivation未尝试免费301随机排列的下降数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的一个均匀随机排列。若 (i) > (i+1)，则称位置 i 为一个下降。下降个数的期望值是多少？概率简单数值题未尝试免费303重复掷骰的匹配对数掷一枚均匀的 k 面骰子 n 次（独立）。设 M 为满足 1 \le i < j \le n 且第 i 次与第 j 次结果相同的对数。求 E[M]。概率中等derivation未尝试免费305独特选择与独特邻居对n 个人排成一排，每人独立且等概率地从 \ 1, 2, \dots, k\ 中选一个整数。若某人选的数没有任何其他人也选，则称该人是「独特的」。 (a) 用示性变量求独特人数的期望 E[U]。 (b) 若相邻的两人 (i, i+1) 都是独特的，则称之为一个「独特邻居对」。求独特邻居对数的期望 E[N]。概率困难derivation未尝试免费306排列中的中间位置设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。若 \min( (i-1), (i+1)) < (i) < \max( (i-1), (i+1))，则称位置 i \in \ 2, \dots, n-1\ 为中间位置。中间位置个数的期望是多少？概率简单数值题未尝试免费322掷骰子中的相邻匹配将一颗公平六面骰子独立掷 n 次，得到序列 D 1, D 2, \dots, D n。若 D i = D i+1 （1 \le i \le n-1），则称位置 i 发生了相邻匹配。求相邻匹配个数的期望。概率简单数值题未尝试免费324随机着色中的单色边将完全图 K n 的每个顶点独立地以概率 1/2 染红色或蓝色。若一条边的两个端点颜色相同，则称其为单色边。求单色边个数的期望。概率中等数值题未尝试免费334含公共分量的独立变量之和的协方差设 X、Y、Z 为独立随机变量， Var (X) = 1， Var (Y) = 2， Var (Z) = 3。令 U = X + Y，V = Y + Z。求 Cov (U, V) 和 Corr (U, V)。概率中等数值题未尝试免费335无放回抽样的样本均值方差一个箱子中有编号为 1, 2, \dots, N 的 N 个球。不放回地抽取 n 个球，令 X = \tfrac 1 n \sum i=1 n X i（X i 为第 i 次抽到的编号）。推导 Var ( X ) 关于 N 和 n 的表达式，并计算 N=10、n=4 时的值。概率困难derivation未尝试免费339二元正态的条件方差设 (X, Y) 服从二元正态分布，E[X] = E[Y] = 0， Var (X) = 1， Var (Y) = \sigma Y 2， Corr (X,Y) = 。推导 Var (Y \mid X = x) 并说明其不依赖于 x。对 \sigma Y = 3、 = 0.6 求数值。概率困难derivation未尝试免费344用 Delta 方法近似比率的方差设 X 和 Y 独立，E[X] = 10， Var (X) = 4，E[Y] = 5， Var (Y) = 1。利用 Delta 方法（一阶 Taylor 展开）推导 Var (X/Y) 的近似公式并求数值。概率困难derivation未尝试免费349随机和的方差（Wald 方差恒等式）某商铺每天收到 N 笔订单，N \sim Poisson (8)。每笔订单金额 X i 独立且 E[X i] = 50， Var (X i) = 400。令 S = X 1 + \cdots + X N 为每日总收入。 利用全方差公式推导 Var (S) 并求值。概率中等数值题未尝试免费