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非代码面试题
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375共享速率的泊松-指数和：双层塔与 Eve 定律设 Z \sim Uniform (1,3)，给定 Z 时 N \mid Z \sim Poisson (Z)，给定 (N,Z) 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布于 Exp (Z)（速率参数）。令 S=X 1+\cdots+X N。利用迭代塔性质和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率困难derivation未尝试免费427利用无记忆性求条件期望设 X \sim Exp (2)。利用无记忆性质，求 E[X \mid X > 3]。概率简单数值题未尝试免费429几何次几何试验赌徒进行若干轮游戏。每轮中抛一枚 P( 正面 ) = p 的硬币直到出现正面，该轮抛掷次数为 Geom (p)。轮数本身为 Geom (q)（与抛硬币独立）。设 S 为总抛掷次数。利用几何分布的无记忆性，证明 S \sim Geom (pq) 并求 E[S]。概率中等derivation未尝试免费430无记忆性的刻画与剩余寿命悖论(a) 设 X 为连续正随机变量，满足 P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)。证明 X 必为指数分布。 (b) 灯泡寿命 L 的 CDF 为 F(t) = 1 - 1 2 e -t - 1 2 e -3t 。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 R 为其剩余寿命。证明 E[R] > E[L] 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。概率困难derivation未尝试面试订阅431几何分布超过阈值的条件计算设 X \sim Geom (1/4)（首次成功的试验次数）。利用几何分布的无记忆性，求 (i) E[X \mid X > 5]，(ii) P(X > 8 \mid X > 5)。概率简单数值题未尝试免费432指数竞赛中的非对称惩罚两个独立警报分别在 Exp (4) 和 Exp (6) 时刻触发。警报 1 先触发付 3 元，警报 2 先触发付 5 元。首个警报触发后，剩余警报由无记忆性重新开始，触发时再付 1 元。求总支付的期望。概率中等数值题未尝试免费433存活指数变量的条件方差设 X \sim Exp ( )。利用无记忆性求 Var (X \mid X > t)（t > 0）。条件于存活是否改变方差？对 =5, t=2 给出数值。概率中等数值题未尝试免费434无记忆元件阵列的第二次故障系统有 4 个独立元件，寿命均为 Exp (2)。元件故障后移除，幸存元件由无记忆性继续以 Exp (2) 运行。求第二个元件故障的期望时间。概率中等数值题未尝试免费435几何分布无记忆性的唯一性(a) 设正整数随机变量 N 满足 P(N>m+n \mid N>m)=P(N>n)。证明 N 必为几何分布。 (b) 对 N \sim Geom (p)，用无记忆性求 E[N 2 \mid N>k]，验证 Var (N \mid N>k) = Var (N)。概率困难derivation未尝试面试订阅436指数无记忆性的直接应用放射性原子寿命 X \sim Exp (1/2)。已知原子在 t=3 时仍存活，求其存活超过 t=7 的概率。概率简单数值题未尝试免费437连续失败后的全新开始抛一枚 P( 正面 )=1/3 的硬币直到正面。已知前 8 次均为反面，从第 9 次起还需多少次的期望？概率简单数值题未尝试免费438无记忆最小值下的机器替换工厂运行 3 台寿命独立 Exp (1) 的机器。故障机器即时替换为全新同型机器，其余机器由无记忆性继续运行。求 [0,10] 内期望替换次数。概率中等数值题未尝试免费439依次淘汰竞赛三名玩家寿命独立：X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (4)。先「死」者淘汰，幸存者由无记忆性以相同速率继续。(a) 求淘汰顺序为 X 3, X 1, X 2 的概率。(b) 求仅剩一人的期望总时间。概率困难multi part未尝试面试订阅442由无记忆性推导常数风险率设备寿命 X 的生存函数 F (t)，风险率 h(t) = f(t)/ F (t)。证明无记忆性等价于 h(t) = （常数），从而 X \sim Exp ( )。概率中等derivation未尝试免费443串联系统更换成本机器有两个串联关键组件：A 寿命 Exp (3)，B 寿命 Exp (5)，独立。任一失效则机器停止，更换失效组件（A 费 20，B 费 50），两组件均重新开始。求长期单位时间期望更换成本。概率中等数值题未尝试免费444四个竞争指数的完全排列概率四个独立指数变量 X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (3)，X 4 \sim Exp (6)。用迭代无记忆性求 P(X 4 < X 3 < X 2 < X 1)。概率困难数值题未尝试面试订阅445指数混合分布的无记忆性失效设 X 的密度为 f(x) = 1 2 e -x + 5 2 e -5x （ Exp (1) 和 Exp (5) 的等权混合）。 (a) 求 P(X>s+t \mid X>s) 并证明其依赖于 s。 (b) 计算 P(X>2 \mid X>1) 并与 P(X>1) 比较。 (c) 解释：当 s 增大时条件分布如何变化？概率困难multi part未尝试面试订阅446几何分布的条件存活概率反复掷骰子直到掷出 6。设 N 为所需次数。已知前 5 次未掷出 6，求总次数超过 10 的概率。概率简单数值题未尝试免费447无记忆的公交车公交车到站时间为 Exp (1/10)（均值 10 分钟）。你已等了 5 分钟。期望还需等多久？概率简单数值题未尝试免费448两个指数最小值的阈值超越设 X \sim Exp (2)，Y \sim Exp (3) 独立，M = \min(X,Y)，阈值 c=1。 (i) 求 P(M>1)。 (ii) 在 M>1 条件下，求 E[M-1 \mid M>1] 和 P(X<Y \mid M>1)。概率中等数值题未尝试免费