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非代码面试题
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455随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理设 X 1, X 2, \ldots 为 i.i.d.，P(X i=1) = P(X i=0) = 1/2。定义 Y n = (\prod i=1 n (1+X i) ) 1/n . **(a)** 求 \lim n Y n（几乎必然）。 **(b)** 对 n=200，用 CLT 近似 P(Y 200 > 1.45)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(1.02) \approx 0.8461。概率困难derivation未尝试免费460样本均值平方根的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Exp (4)（E[X i] = 1/4， Var (X i) = 1/16）。定义 T n = X n 。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (T n - ) 的渐近分布。 **(b)** 当 n = 256 时，近似 P(T 256 > 0.525)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费464Gamma 样本均值对数的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Gamma (2,1)（E[X i]=2， Var (X i)=2）。定义 W n = \ln( X n)。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (W n - \ln 2) 的渐近分布。 **(b)** n = 200 时，近似 P(W n < 0.6)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(-1.86) \approx 0.0314。概率困难derivation未尝试免费465均匀随机变量和的 Berry-Esseen 界设 U 1, \ldots, U n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，S n = U i。Berry-Esseen 定理给出 \sup x |P((S n - n/2)/( n ) \le x) - \Phi(x)| \le C /( 3 n ), 其中 C \le 0.4748。 **(a)** 精确计算 = E[|U i - 1/2| 3]。 **(b)** 求 n=50 时的 Berry-Esseen 界。 **(c)** n 至少多大才能使界低于 0.01？概率困难derivation未尝试免费469随机乘数几何平均的 LLN 和 CLT投资每年乘以随机因子 X i（i.i.d.），P(X i=2)=P(X i=4)=1/2。n 年后年化增长因子为几何平均 G n = ( X i) 1/n 。 **(a)** 求 \lim n G n（a.s.）。 **(b)** n=100 时，用 CLT 近似 P(G 100 > 3)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\ln 3 \approx 1.0986，\Phi(1.70) \approx 0.9554。概率困难derivation未尝试免费470样本中位数的渐近分布设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，M n 为样本中位数。渐近理论给出 n (M n - m) \xrightarrow d N(0, 1/(4[f(m)] 2))。 **(a)** 对 Uniform (0,1)，求 m、f(m) 及渐近方差。 **(b)** n=400 时，近似 P(M 400 > 0.54)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费474尾部概率保证的最小样本量设 X i 为 i.i.d. Exp (1)。设计师要求 P( X n > 1.1) < 0.01。 用 CLT 求满足条件的最小 n。 可使用 \Phi(2.33) \approx 0.9901。概率中等数值题未尝试免费475Slutsky 定理与估计方差下的 CLT设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d.（均值 ，方差 2），S n 2 为样本方差，T n = n ( X n - )/S n。 **(a)** 用 LLN 和 Slutsky 定理证明 T n \xrightarrow d N(0,1)。 **(b)** n=100， X =12.5，S=3.0，\mu 0=12。近似 P( X >12.5)。 可使用 \Phi(1.67) \approx 0.9525。概率困难derivation未尝试免费483非对称环上的首次回归时间四状态环 \ 0,1,2,3\ ，从 i 顺时针跳到 (i+1)\bmod 4 的概率为 p i，逆时针为 1-p i，其中 p 0=3/4, p 1=1/2, p 2=1/4, p 3=1/2。求从状态 0 出发首次返回状态 0 的期望步数。概率中等数值题未尝试免费489双目标集的分裂概率与期望击中时间五状态链 \ 0,1,2,3,4\ ，p(1,0)=1/2, p(1,2)=1/2, p(2,1)=1/3, p(2,3)=2/3, p(3,2)=1/4, p(3,4)=3/4。0,4 吸收。T=\inf\ n: X n \in \ 0,4\ \ 。(a) 求 P(X T=4|X 0=2)。(b) 求 E[T|X 0=2]。概率困难derivation未尝试免费493递增漂移下的期望吸收时间五状态链 \ 0,1,2,3,4\ ，0,4 吸收。p(1,0)=1/5, p(1,2)=4/5, p(2,1)=2/5, p(2,3)=3/5, p(3,2)=3/5, p(3,4)=2/5。求 E[T|X 0=1] 和 E[T|X 0=3]。概率中等derivation未尝试免费494遍历链上访问所有状态的期望时间四状态链 \ 1,2,3,4\ ，转移矩阵 P 如题。从状态 1 出发，求首次访问所有四个状态的期望步数 E[T cover |X 0=1]。概率困难derivation未尝试免费499周期性漂移变化的首达时间七状态链 \ 0,...,6\ ，0 吸收，6 反射。瞬态状态 1 \le i \le 5 的转移概率取决于 i \bmod 3：i\equiv0时左 2/3 右 1/3；i\equiv1时各 1/2；i\equiv2时左 1/3 右 2/3。求 E[T 0|X 0=3]。概率中等derivation未尝试免费505带部分反射壁的赌徒破产马尔可夫链在 \ 0,1,2,\ldots\ 上，0 为吸收态。从 k\ge1 以概率 p 到 k+1、概率 q=1-p 到 k-1。状态 N 为反射壁：从 N 必定回到 N-1。从状态 k（1 \le k \le N）出发：(a) 求被 0 吸收的概率 r k。(b) 当 p=q=1/2，N=4 时，求 r 2 和 E[T|X 0=2]。概率困难derivation未尝试免费530超立方体 Q₃ 的等效电阻与通勤时间三维超立方体 Q 3（顶点为长度 3 二进制串，边连一位不同的串），每边电阻为 1。 (a) 利用 Q 3 的对称性，计算 000 与 111 之间的等效电阻 R eff (000,111)。 (b) 随机游走的通勤时间满足 C(u,v)=2m R eff (u,v)，其中 m 为边数。求 000 到 111 的通勤时间。概率困难derivation未尝试面试订阅533环图上惰性游走的谱雙与混合时间环图 C n 上的惰性随机游走：每步以 1/2 概率停留，各以 1/4 概率移向两个邻居。转移矩阵特征值为 \lambda k= 1 2 (1+\cos(2 k/n))。 (a) 求谱雙 =1-\lambda 1。 (b) 利用 t mix \asymp 1/ 确定 n 时混合时间的阶。概率中等derivation未尝试免费535K₂,₃ 上的等效电阻与通勤时间完全二部图 K 2,3 ，部分 A=\ a 1,a 2\ （度 3）和 B=\ b 1,b 2,b 3\ （度 2），每边电阻为 1。 (a) 计算 R eff (a 1,a 2)。 (b) 用 C(u,v)=2m R eff (u,v) 求通勤时间。 (c) 用首步分析计算 h(a 1 a 2) 并验证。概率困难derivation未尝试面试订阅5404-环图上的等效电阻与通勤时间环图 C 4，顶点 \ 0,1,2,3\ ，每边电阻为 1。(a) 计算 R eff (0,2)。(b) 求通勤时间。(c) 求 h(0 2) 并验证。概率困难derivation未尝试面试订阅545Kₙ 上惰性随机游走的混合时间K n 上的惰性随机游走。(a) 证明转移矩阵有两个不同特征值。(b) 求谱雙并确定混合时间的阶。概率困难derivation未尝试面试订阅590带权报价止停规则 5你最多可以观察 3 个独立报价。每次报价的分布为：0 的概率是 1/4，4 的概率是 1/4，7 的概率是 1/4，12 的概率是 1/4。若拒绝当前报价并继续，则要付出 1 点成本；若来到最后一次抽取，则必须接受。问第一轮的最优接受阈值是什么，且对应的最优期望净收益是多少？概率困难derivation未尝试免费