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非代码面试题
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449无记忆消息中继链消息经 2 个中继节点传递。每个节点独立地以 Geom (1/3) 次尝试转发，每次尝试有 1/5 概率永久故障。求 (i) 消息到达目的地的概率，(ii) 在消息到达条件下两节点总尝试次数的期望。概率中等数值题未尝试免费450指数竞赛中的先发优势设 X \sim Exp ( )，Y \sim Exp ( ) 独立。A 在时刻 X 完成，B 在时刻 Y + c（c > 0）完成。 (a) 推导 P(X < Y + c)。 (b) 当 c 0 时恢复标准竞争指数公式。 (c) 对 =3, =2, c=1 求值并解释。概率困难multi part未尝试面试订阅477平均回归时间与平稳分布状态空间 \ 1,2,3\ 上的马尔可夫链转移矩阵为 P = \begin pmatrix 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end pmatrix . (a) 求平稳分布 。(b) 利用平稳分布与平均回归时间的关系，求从状态 1 出发回到状态 1 的期望步数。概率简单数值题未尝试免费479状态依赖漂移的首次到达边界问题粒子在 \ 0,1,2,3,4\ 上运动。从状态 i（0<i<4）以概率 p i = i/4 向右跳，q i = 1-i/4 向左跳。0 和 4 吸收。从状态 2 出发：(a) 求被状态 4 吸收的概率。(b) 求直到吸收的期望步数。概率中等derivation未尝试免费480通过补偿鞅求击中时间方差马尔可夫链在 \ 0,1,2,3\ 上，从 i（0<i<3）以概率 2/3 跳至 i+1，1/3 跳至 i-1。0 和 3 吸收。令 T = \inf\ n: X n \in \ 0,3\ \ 。 (a) 用鞅 M n = X n\wedge T - (p-q)(n\wedge T) 和 OST 求 E[T \mid X 0=2]。 (b) 用鞅 N n = M n 2 - 4pq(n\wedge T) 求 Var (T \mid X 0=2)。 (c) 用一步分析验证 E[T]。概率困难derivation未尝试面试订阅482经过随机化状态的首达时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ 上，转移矩阵为 P = \begin pmatrix 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 3/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end pmatrix 。状态 0 吸收。(a) 求 E[T \mid X 0=1]。(b) 求 E[T \mid X 0=2]。概率中等数值题未尝试免费484两状态链乘积上的击中时间(X n, Y n) 是 \ 0,1\ 2 上的独立乘积链。X 以概率 1/3 翻转，Y 以概率 1/2 翻转。从 (1,1) 出发，求首次到达 (0,0) 的期望步数。概率中等derivation未尝试免费488奇偶依赖转移的首达时间四状态链 \ 0,1,2,3\ ，0 和 3 吸收。奇数状态 i：p(i,i-1)=3/4，p(i,i+1)=1/4。偶数瞬态状态 i=2：p(i,i-1)=1/4，p(i,i+1)=3/4。求 E[T \mid X 0=1]。概率中等derivation未尝试免费492六状态链上配对坐标的击中时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ \ 0,1\ 上。(0,y) 吸收。从 (i,j)（i\ge1）以概率 1/3 到 (i-1,j)，1/3 到 (i,1-j)，1/3 到 (i+1,j)（i+1>2 时重新分配）。求 E[T|X 0=(1,1)]。概率中等derivation未尝试免费494遍历链上访问所有状态的期望时间四状态链 \ 1,2,3,4\ ，转移矩阵 P 如题。从状态 1 出发，求首次访问所有四个状态的期望步数 E[T cover |X 0=1]。概率困难derivation未尝试免费495通信类之间的有限击中时间五状态链 \ 1,2,3,4,5\ ，转移矩阵如题。B=\ 4,5\ ，T B=\inf\ n:X n \in B\ 。(a) 证明 E[T B|X 0=i]< 。(b) 求 E[T B|X 0=1]。概率困难derivation未尝试免费499周期性漂移变化的首达时间七状态链 \ 0,...,6\ ，0 吸收，6 反射。瞬态状态 1 \le i \le 5 的转移概率取决于 i \bmod 3：i\equiv0时左 2/3 右 1/3；i\equiv1时各 1/2；i\equiv2时左 1/3 右 2/3。求 E[T 0|X 0=3]。概率中等derivation未尝试免费590带权报价止停规则 5你最多可以观察 3 个独立报价。每次报价的分布为：0 的概率是 1/4，4 的概率是 1/4，7 的概率是 1/4，12 的概率是 1/4。若拒绝当前报价并继续，则要付出 1 点成本；若来到最后一次抽取，则必须接受。问第一轮的最优接受阈值是什么，且对应的最优期望净收益是多少？概率困难derivation未尝试免费606目标达成下注选择 6你初始财富为 5。在至多 3 轮中，每轮都可以把当前财富中的任意整数金额押在一个赢率为 3/5 的等赔率硬币上。若赢，财富增加该下注额；若输，财富减少该下注额。问第一轮下注多少，才能使得在 3 轮后财富至少达到 9 的概率最大？这个最大概率是多少？概率简单数值题未尝试免费626加权中心化和 1设 X 1, X 2, ... 是独立同分布的 Bernoulli(2/5) 随机变量，且 F n = sigma(X 1,...,X n)。定义 M n = sum (k=1) n k*(X k-2/5)。问 (M n) 是否关于 (F n) 构成鞅？概率简单derivation未尝试免费628加权中心化和 3设 X 1, X 2, ... 是独立同分布的 Bernoulli(3/7) 随机变量，且 F n = sigma(X 1,...,X n)。定义 M n = sum (k=1) n k 2*(X k-3/7)。问 (M n) 是否关于 (F n) 构成鞅？概率中等derivation未尝试免费630加权中心化和 5设 X 1, X 2, ... 是独立同分布的 Bernoulli(3/5) 随机变量，且 F n = sigma(X 1,...,X n)。定义 M n = sum (k=1) n 3k*(X k-3/5)。问 (M n) 是否关于 (F n) 构成鞅？概率困难derivation未尝试免费631终值投影过程 1设 X 1, X 2, X 3, X 4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F n。定义 Y = 1 X 1+X 2+X 3 >= 2 ，并令 M n = E[Y | F n]。问 (M n) 是否是鞅？概率简单derivation未尝试免费632终值投影过程 2设 X 1, X 2, X 3, X 4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F n。定义 Y = 1 X 1+X 2+X 3+X 4 = 0 ，并令 M n = E[Y | F n]。问 (M n) 是否是鞅？概率中等derivation未尝试免费633终值投影过程 3设 X 1, X 2, X 3, X 4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F n。定义 Y = 1 max(X 1,X 2,X 3) = 1 ，并令 M n = E[Y | F n]。问 (M n) 是否是鞅？概率中等derivation未尝试免费