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非代码面试题
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209从第一性原理推导负二项分布的概率质量函数设 X 为恰好累积 r 次成功所需的独立 Bernoulli(p) 试验次数。 (a) 通过分析直到第 X 次试验的结果序列结构，推导 P(X = k)（k = r, r+1, r+2, \ldots）。 (b) 利用负二项级数 (1-x) -r = \sum j=0 \binom r+j-1 j x j（|x| < 1）验证你的 PMF 之和为1。 (c) 当 r = 3，p = 1/2 时，计算 P(X = 7)。概率中等derivation未尝试免费213二项和分量的条件分布设 X \sim Binomial (m, p)，Y \sim Binomial (n, p)，且 X, Y 独立。 (a) S = X + Y 的分布是什么？说明理由。 (b) 推导条件 PMF P(X = k \mid S = s)。 (c) 指出该条件分布的名称和参数。解释为什么 p 在条件分布中消失了。 (d) 用数值例子验证：m = 10，n = 15，p = 0.4。计算 P(X = 3 \mid S = 8)。概率中等derivation未尝试免费214泊松稀释与分流独立性设 N \sim Poisson ( )。每个事件独立地以概率 p 被分为第1类，以概率 1-p 被分为第2类。令 N 1, N 2 分别为两类事件的计数。 (a) 推导 N 1 的边际分布。 (b) 推导联合 PMF P(N 1 = j, N 2 = k)，并证明 N 1 与 N 2 独立。 (c) 某网站每小时页面浏览量为 = 200。每位访客独立地以概率 p = 0.03 转化（购买）。求一小时内恰好有4次转化的概率，以及在总浏览量不超过210的条件下至少有1次转化的概率。概率困难derivation未尝试免费216离散均匀分布的均值与方差设 X 在 \ 1, 2, \ldots, n\ 上均匀分布，即 P(X = k) = 1/n。 (a) 推导 E[X] 的闭式表达式。 (b) 利用 \sum k=1 n k 2 = n(n+1)(2n+1)/6 推导 E[X 2]。 (c) 求 Var (X)。 (d) 对公平六面骰子（n=6）给出数值结果。概率简单derivation未尝试免费218通过几何等待时间求解赠券收集问题麦片盒中含有 n 种等概率的赠券之一。你逐盒购买，每次独立。设 T 为集齐所有 n 种赠券所需的盒数。 (a) 定义 T i 为从已有 i-1 种到获得第 i 种所需的额外盒数。T i 服从什么分布？ (b) 用 T 1, \ldots, T n 表达 T，并利用期望的线性性推导 E[T]。 (c) 证明 E[T] = n H n。 (d) 计算 n = 10 时的 E[T]。 (e) 利用 T 1, \ldots, T n 的独立性推导 Var (T)。概率中等derivation未尝试免费219独立几何随机变量最大值的分布设 X 1, \ldots, X n 独立同分布 Geometric (p)，P(X i=k)=(1-p) k-1 p。令 M = \max(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M \le m) = [1-(1-p) m] n。 (b) 推导 P(M = m)。 (c) 利用尾和公式表达 E[M] 为无穷级数。 (d) n=2，p=1/2 时，计算 P(M=1), P(M=2), P(M=3) 并精确求 E[M]。 (e) 对一般 n 和小 p，启发式论证 E[M] \approx (\ln n)/p。概率困难derivation未尝试免费221伯努利分布：矩与矩母函数设 X \sim Bernoulli (p)，即 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，其中 0<p<1。 (a) 直接由 PMF 计算 E[X] 和 E[X 2]，进而求 Var (X)。 (b) 推导矩母函数 M X(t)=E[e tX ]，并验证 M X'(0)=E[X]，M X''(0)=E[X 2]。 (c) 证明 Var (X)=p(1-p) \le 1/4，并找到使方差最大的 p 值。 (d) 若 S=\sum i=1 n X i，X i 独立同分布 Bernoulli (p)，利用 MGF 证明 S \sim Binomial (n,p)。概率简单derivation未尝试免费225独立几何随机变量的最小值设 X 1, \ldots, X n 独立，X i \sim Geometric (p i)（首次成功所需试验次数），定义 M = \min(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M > k) = \prod i=1 n (1-p i) k。 (b) 证明 M \sim Geometric (1- (1-p i))。 (c) iid 情形：求 E[M] 和 Var (M)，验证 n 时 E[M] 1。 (d) 五个独立交易员每天成交概率 0.3，求首次成交的期望天数和前 3 天无成交的概率。 (e) 证明 P(X j=M \mid M=m) 依赖于 j，对 n=2, p 1=0.3, p 2=0.5, m=2 计算。概率困难derivation未尝试免费229标准正态分布的尾部概率与区间概率设 Z \sim N(0,1)。已知 \Phi(1) \approx 0.8413，\Phi(2) \approx 0.9772，计算：(a) P(|Z| > 2)；(b) P(1 < Z < 2)。请用正态分布的对称性解释每一步。概率中等数值题未尝试免费236威布尔分布的中位数威布尔分布的形状参数 k > 0、尺度参数 > 0，其 CDF 为 F(x) = 1 - e -(x/ ) k , \quad x 0. (a) 推导该分布中位数的解析表达式。 (b) 当 k = 2， = 3 时，计算中位数。概率简单数值题未尝试免费285随机边着色中的单色团将完全图 K n 的每条边独立地以等概率 1 2 染为红色或蓝色。对给定整数 k \ge 2，求单色 k-团（所有 \binom k 2 条边颜色相同的 k 顶点完全子图）的期望个数。用 n 和 k 表示结果。概率困难derivation未尝试免费286随机排列中的上升数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。位置 i（1 \le i \le n-1）处的上升是指 (i) < (i+1) 的情况。求上升数的期望值。概率简单derivation未尝试免费287扑克牌中的同点数对从标准 52 张扑克牌中均匀随机抽取 5 张。同点数对是指手牌中点数相同的无序二元组（例如两张 K）。求手牌中同点数对个数的期望值。概率简单数值题未尝试免费288随机图中的孤立顶点在 Erdos-Renyi 随机图模型 G(n,p) 中，n 个标记顶点之间的 \binom n 2 条可能的边各自独立地以概率 p 出现。孤立顶点是指没有边与之关联的顶点。求孤立顶点个数的期望值。概率中等derivation未尝试免费295随机排列中的循环数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。求 的循环分解中循环个数的期望值，将答案表示为 n 的一个常见函数。概率困难derivation未尝试免费296抛硬币中的正反面转换独立抛一枚公平硬币 n 次。位置 i（1 \le i \le n-1）处发生转换是指第 i 次和第 i+1 次结果不同（一次正面一次反面）。求转换次数的期望值。概率简单derivation未尝试免费297群体中的不同生日天数n 个人的生日各自独立且均匀地取自 365 天。若至少有一人在某天过生日，则称该天被占据。求被占据天数的期望值。概率简单derivation未尝试免费300两棵随机生成树的公共边设 T 1 和 T 2 是完全图 K n 的两棵独立均匀随机生成树（各自从所有 n n-2 棵标记生成树中等概率抽取，相互独立）。求同时属于 T 1 和 T 2 的边数的期望值。概率困难derivation未尝试免费676库存-价差状态重复 1某模拟器每分钟记录一次状态对：(库存对 9 取模的值，5 个价差桶之一)。最少记录多少分钟，才能保证两次记录的状态对完全相同？脑筋急转弯简单数值题未尝试免费677二阶递推状态重复 2一个定义在模 13 上的确定性递推，未来完全由有序对 (x t, x (t+1)) 决定。最少观察多少个连续有序对，才能保证状态对重复？脑筋急转弯简单brainteaser未尝试免费