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非代码面试题
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029一次判断对一次判断错之后的分析师后验某位分析师先验上有 0.3 的概率是高级分析师，否则是初级分析师。高级分析师对每天一个二元市场方向的判断正确率是 0.8，初级分析师是 0.6。现在连续两天观察到这位分析师恰好一次判断正确、一次判断错误。求其是高级分析师的后验概率。概率中等数值题未尝试免费033三状态贝叶斯更新与日收益一位组合经理将市场建模为三种等概率的状态之一： - **牛市**：每天上涨概率 4 5 。 - **中性**：上涨概率 1 2 。 - **熊市**：上涨概率 1 5 。 给定状态后各天独立。三天内股票分别：涨、涨、跌。 (a) 求各状态的后验概率。 (b) 求第四天上涨的条件概率。概率中等数值题未尝试免费040顺序信号更新与条件期望塔性质一位量化研究员认为某方向性信号的准确率 p 为 1 3 或 2 3 ，先验等概率。每天信号在给定 p 后独立地预测市场方向，正确概率为 p。 (a) 第一天信号正确。求后验 P\! (p = \tfrac 2 3 \mid C 1 )。 (b) 第二天信号错误。从第一天的后验出发，求更新后的 P\! (p = \tfrac 2 3 \mid C 1, W 2 )。 (c) 验证条件期望的塔性质：证明 E[p] = E\! [\,E[p \mid D 1]\, ]，其中 D 1 \in \ C 1, W 1\ 为第一天的结果。显式计算所有量。概率困难derivation未尝试面试订阅043工厂缺陷追溯与预测推断某工厂有三条生产线，产量份额和缺陷率如下： | 生产线 | 产量份额 | 缺陷率 | |--------|---------|--------| | 1 | 50% | 2% | | 2 | 30% | 3% | | 3 | 20% | 5% | 从今天的产品中随机取出一件，发现有缺陷。 (a) 求该产品来自每条生产线的后验概率。 (b) 再从同一（未知）生产线独立取出第二件产品，已知第一件有缺陷，求第二件也有缺陷的条件概率。概率中等数值题未尝试免费045多分析师信号融合与顺序更新某交易台从三位独立分析师获取方向性预测。市场将「上涨」或「下跌」，先验各为 1 2 。给定真实状态后每位分析师独立地以如下概率预测正确方向： - 分析师 1：准确率 0.8 - 分析师 2：准确率 0.7 - 分析师 3：准确率 0.9 (a) 三位分析师均预测「上涨」。求 P( 上涨 \mid 三人均说上涨 )。 (b) 分析师 1 和 2 预测「上涨」，但分析师 3 预测「下跌」。求 P( 上涨 \mid U 1, U 2, D 3)。 (c) 证明 (b) 的后验可通过顺序贝叶斯更新逐一处理各分析师的信号得到，且最终结果与更新顺序无关。用两种不同顺序分别计算以验证。概率困难derivation未尝试面试订阅059所有三元组独立但四元组不独立设 \Omega = \ 0, 1, 2, \ldots, 7\ ，等概率 P(\ \omega\ ) = 1/8。将每个 \omega 写成二进制 (b 2, b 1, b 0)。定义事件： A = \ \omega : b 0 = 1\ , \quad B = \ \omega : b 1 = 1\ , \quad C = \ \omega : b 2 = 1\ , \quad D = \ \omega : b 0 \oplus b 1 \oplus b 2 = 1\ . (a) 证明 A、B、C 相互独立。(b) 证明 \ A,B,C,D\ 中任选三个事件均相互独立。(c) 证明 A、B、C、D 不是相互独立的。概率困难derivation未尝试面试订阅065独立分布的混合破坏独立性一枚均匀硬币：正面朝上时令 (X, Y) = (1, 1)；反面朝上时独立地抽取 X, Y \sim Bernoulli (1/2)。(a) 求 (X, Y) 的完整联合分布。(b) 证明 X 和 Y 的边缘分布相同。(c) X 和 Y 是否独立？证明你的结论。(d) 计算 P(X = 1 \mid Y = 0)，并与 P(X = 1) 比较。解释结果。概率困难derivation未尝试面试订阅088圣彼得堡悖论赌场提供以下游戏：反复抛掷公平硬币直到第一次出现反面。如果第 n 次出现第一个反面，你赢得 2 n 美元。(a) 计算游戏的期望收益。(b) 尽管(a)的答案如此，大多数人只愿支付约20美元来玩。用Daniel Bernoulli的方法解决这个悖论：假设玩家具有对数效用 u(x) = \ln(x) 和初始财富 W。计算游戏的期望效用，并求 W = 1 , 000 , 000 时的确定性等价额。(c) 更实际的解决方案：假设赌场总资本有限为 C。若赔付上限为 C = 2 40 （约1万亿美元），期望收益是多少？概率中等derivation未尝试免费090波雷尔悖论：对零测集事件的条件化设 (\Theta, \Phi) 在单位球面 S 2 上均匀分布，其中 \Theta \in [0, 2 ) 为经度，\Phi \in [0, ] 为余纬度，联合密度为 f( , \phi) = 1 4 \sin \phi。 (a) 以 \Theta 为条件变量，计算 \Phi 在 \Theta = 0 条件下的条件分布（即 f(\phi \mid = 0)）。 (b) 重新参数化：令 X = \cos(\Theta) \sin(\Phi)，Y = \sin(\Theta) \sin(\Phi)，Z = \cos(\Phi)。大圆 \ \Theta = 0\ 等价于 \ Y = 0, X 0\ 。计算 \Phi 在 Y = 0 且 X > 0 条件下的条件分布。与(a)的结果相同吗？ (c) 解释两个答案为何不同。这对'对零测集事件条件化'的含义有何启示？解决这一歧义的正确数学框架是什么？概率困难derivation未尝试免费164四个人中恰好出现一对同生日的概率4 个人的生日在 365 天日历上独立且均匀。恰好只有一对人同生日，并且没有更大的碰撞时，概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅170在已有生日互异条件下下一位到来造成碰撞的概率设当前已经有 n 个生日，而且它们在 365 天日历上两两不同。现在再独立且均匀地加入一个新人的生日。这个新来的人造成精确撞生日的概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅190奇数负载箱子的期望个数8 个带标签球独立地分配到 5 个带标签箱子里。最终负载为奇数的箱子数期望是多少？概率困难数值题未尝试免费200通过斯特林数求空盒子数的完整分布将6个可区分的球独立且均匀随机地投入5个可区分的盒子中。令 E 为空盒子的数量。推导 P(E=k) 对所有可能的 k 值的概率质量函数，将每个概率表示为精确分数。概率困难derivation未尝试免费217负二项分布作为泊松–伽马混合设 \Lambda \sim Gamma (r, )，密度为 f \Lambda( ) = r \Gamma(r) r-1 e - ，且 X \mid \Lambda = \sim Poisson ( )。 (a) 写出 P(X=k \mid \Lambda= )，并通过对 \Lambda 积分计算边际 PMF P(X=k)。 (b) 证明 P(X=k) = \binom k+r-1 k p k(1-p) r（p=1/(1+ )），并识别此分布。 (c) 利用全期望和全方差公式求 E[X] 和 Var (X)。 (d) 验证：r=3， =4，计算 P(X=2) 和 E[X]。概率中等derivation未尝试免费220通过特征函数证明二项分布的泊松极限设 X n \sim Binomial (n, /n)， > 0 固定。 (a) 写出 \varphi X n (t) 的闭式。 (b) 证明 \lim n \varphi X n (t) = e (e it -1) 。 (c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。 (d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。 (e) =5，n=100 时，用精确二项和泊松近似分别计算 P(X n=3)，求相对误差。概率困难derivation未尝试免费285随机边着色中的单色团将完全图 K n 的每条边独立地以等概率 1 2 染为红色或蓝色。对给定整数 k \ge 2，求单色 k-团（所有 \binom k 2 条边颜色相同的 k 顶点完全子图）的期望个数。用 n 和 k 表示结果。概率困难derivation未尝试免费288随机图中的孤立顶点在 Erdos-Renyi 随机图模型 G(n,p) 中，n 个标记顶点之间的 \binom n 2 条可能的边各自独立地以概率 p 出现。孤立顶点是指没有边与之关联的顶点。求孤立顶点个数的期望值。概率中等derivation未尝试免费295随机排列中的循环数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。求 的循环分解中循环个数的期望值，将答案表示为 n 的一个常见函数。概率困难derivation未尝试免费300两棵随机生成树的公共边设 T 1 和 T 2 是完全图 K n 的两棵独立均匀随机生成树（各自从所有 n n-2 棵标记生成树中等概率抽取，相互独立）。求同时属于 T 1 和 T 2 的边数的期望值。概率困难derivation未尝试免费303重复掷骰的匹配对数掷一枚均匀的 k 面骰子 n 次（独立）。设 M 为满足 1 \le i < j \le n 且第 i 次与第 j 次结果相同的对数。求 E[M]。概率中等derivation未尝试免费