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非代码面试题
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152首次生日碰撞的期望人数人们依次进入房间，每人的生日独立且均匀分布在365天中。令 T 为首次出现生日碰撞时房间内的人数（即新来者与已有某人生日相同）。写出 E[T] 的含阶乘和365次幂的有限和闭式表达式，并给出数值近似。概率简单数值题未尝试免费154期望的生日碰撞对数一组 n 人的生日独立且均匀分布在 \ 1,\ldots,365\ 上。令 X 为共享生日的无序对 (i,j)（i<j）的数目。利用指示随机变量求 E[X]，然后确定使 E[X] \ge 1 的最小 n。概率中等derivation未尝试免费155生日碰撞对数的方差延续期望碰撞对数的设定：n 人的生日独立均匀分布在 \ 1,\ldots,d\ 上。定义 X = \sum i<j 1 [B i = B j]。 (a) 计算 Var (X)。 (b) 一个令人意外的中间步骤：证明对不同的 i,j,k， Cov ( 1 [B i = B j],\, 1 [B j = B k]) = 0，即使两个指示变量共享指标 j。直观解释为什么协方差为零。 (c) 当 d = 365、n = 28 时，数值计算 Var (X) 并给出变异系数 \sigma X / E[X]。概率困难derivation未尝试面试订阅159近生日问题：生日相差一天以内14个人的生日独立且均匀分布在365天的环形日历上（第1天与第365天相邻）。若两人的生日相差不超过1天（同天或相邻天），则称为**近匹配**。令 M 为近匹配的无序对数。 (a) 计算 E[M]。 (b) 利用 Poisson 近似估计 P(M \ge 1)。 (c) 与标准生日问题对比：n = 14 人时，P( 至少一次精确匹配 ) 是多少？概率中等数值题未尝试免费160不同生日数的期望与方差在 n 人的生日独立均匀分布于 \ 1, \ldots, d\ 的设定下，令 D 为观察到的不同生日天数。 (a) 用指示随机变量推导 E[D]。 (b) 推导 Var (D)。需要计算 P( 第 j 天和第 k 天均有人 )（j \ne k）。 (c) 当 n = 100、d = 365 时，计算 E[D]、 Var (D) 以及期望的「碰撞人数」n - D。 (d) E[n - D] 与指示对方法得到的期望碰撞对数 \binom n 2 /d 是否相同？解释两者的区别。概率困难derivation未尝试面试订阅180从抽样盒中推导超几何分布的矩一个盒子中有20个球：8个红球和12个蓝球。不放回地抽取5个球，令 X 为抽到的红球数。利用示性随机变量推导 E[X] 和 Var (X)，以精确分数表示。概率困难derivation未尝试免费181四种优惠券的收集问题一个麦片盒中随机含有4种等概率优惠券中的一种。你每次购买一盒。期望需要购买多少盒才能集齐全部4种优惠券？概率简单数值题未尝试免费185优惠券收集问题：均值与方差一台机器每次等概率地发放 n=4 种奖品类型中的一种。令 T 为集齐全部4种所需的次数。通过将 T 分解为独立的几何阶段，推导 E[T] 和 Var (T)，以精确分数表示。概率困难derivation未尝试免费195六个盒子中首次碰撞的期望时间球逐个投出，每个球独立且均匀随机地落入6个盒子之一。令 T 为第一个落入已有球的盒子的球的编号（因此 T \ge 2）。推导 E[T] 并给出精确分数。概率困难derivation未尝试免费204通过几何求和推导负二项分布的方差设 X 为累积 r 次成功所需的独立 Bernoulli(p) 试验总次数。将 X 表示为独立几何随机变量之和，并由此求 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费205用指示变量求超几何分布的均值与方差一个箱中有20个球：8红12蓝。不放回地抽取5个球，令 X 为抽到的红球数。定义指示变量 X i = 1 \ 第 i 次抽到红球 \ （i = 1, \ldots, 5）。 (a) 用期望的线性性求 E[X]。 (b) 计算 i \ne j 时的 Cov (X i, X j)，并由此推导 Var (X)。 (c) 验证当 N 且 K/N p 时，你的方差公式退化为二项分布方差 np(1-p)。概率困难derivation未尝试免费210多项分布的协方差与条件分布掷一个公平骰子 n = 60 次。令 X i 为面 i 出现的次数（i = 1, \ldots, 6），则 (X 1, \ldots, X 6) \sim Multinomial (60, 1/6, \ldots, 1/6)。 (a) 用指示变量计算 Cov (X 1, X 2)。 (b) 求相关系数 (X 1, X 2)。 (c) 确定在 X 1 = 12 条件下 (X 2, X 3, X 4, X 5, X 6) 的条件分布，并求 E[X 2 \mid X 1 = 12]。概率困难derivation未尝试免费218通过几何等待时间求解赠券收集问题麦片盒中含有 n 种等概率的赠券之一。你逐盒购买，每次独立。设 T 为集齐所有 n 种赠券所需的盒数。 (a) 定义 T i 为从已有 i-1 种到获得第 i 种所需的额外盒数。T i 服从什么分布？ (b) 用 T 1, \ldots, T n 表达 T，并利用期望的线性性推导 E[T]。 (c) 证明 E[T] = n H n。 (d) 计算 n = 10 时的 E[T]。 (e) 利用 T 1, \ldots, T n 的独立性推导 Var (T)。概率中等derivation未尝试免费285随机边着色中的单色团将完全图 K n 的每条边独立地以等概率 1 2 染为红色或蓝色。对给定整数 k \ge 2，求单色 k-团（所有 \binom k 2 条边颜色相同的 k 顶点完全子图）的期望个数。用 n 和 k 表示结果。概率困难derivation未尝试免费286随机排列中的上升数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。位置 i（1 \le i \le n-1）处的上升是指 (i) < (i+1) 的情况。求上升数的期望值。概率简单derivation未尝试免费287扑克牌中的同点数对从标准 52 张扑克牌中均匀随机抽取 5 张。同点数对是指手牌中点数相同的无序二元组（例如两张 K）。求手牌中同点数对个数的期望值。概率简单数值题未尝试免费288随机图中的孤立顶点在 Erdos-Renyi 随机图模型 G(n,p) 中，n 个标记顶点之间的 \binom n 2 条可能的边各自独立地以概率 p 出现。孤立顶点是指没有边与之关联的顶点。求孤立顶点个数的期望值。概率中等derivation未尝试免费295随机排列中的循环数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。求 的循环分解中循环个数的期望值，将答案表示为 n 的一个常见函数。概率困难derivation未尝试免费296抛硬币中的正反面转换独立抛一枚公平硬币 n 次。位置 i（1 \le i \le n-1）处发生转换是指第 i 次和第 i+1 次结果不同（一次正面一次反面）。求转换次数的期望值。概率简单derivation未尝试免费297群体中的不同生日天数n 个人的生日各自独立且均匀地取自 365 天。若至少有一人在某天过生日，则称该天被占据。求被占据天数的期望值。概率简单derivation未尝试免费