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非代码面试题
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003只经过一个检查点的网格路径数一个机器人从 (0,0) 走到 (5,3)，总共要走 5 步向右和 3 步向上，顺序任意。共有多少条路径会恰好经过两个检查点 A=(2,1) 与 B=(4,2) 中的一个？概率中等数值题未尝试免费005恰好只有一个相邻重复的状态串在字母表 L, M, H 上构造长度为 6 的字符串。要求三个字母都至少出现一次，并且 5 个相邻位置里恰好只有 1 对相等。这样的字符串有多少个？概率困难derivation未尝试面试订阅008恰好两次切换的三状态路径数一个 5 天的信号路径只使用 B, S, H 三种状态。若要求相邻两天之间恰好发生 2 次状态切换，并且最后一天的状态与第一天不同，这样的路径有多少条？概率中等数值题未尝试免费009从频次计数反推重叠概率在一个风险系统中，三种警报 A、B、C 可同时触发。从历史日志可知： - P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，P(C) = 0.3， - P(A \cap B) = 0.2，但 P(A \cap C) 和 P(B \cap C) 未知， - P( 三种警报均未触发 ) = 0.1， - P( 恰好一种触发 ) = 0.7。 求 P(A \cap B \cap C) 和 P( 恰好两种触发 )，并展示所有步骤。概率中等derivation未尝试面试订阅018出现次数为 3-2-1-0 且首尾不同的着色数用 R, G, B, Y 这 4 种颜色给 6 个储物柜上色。要求某一种颜色出现 3 次、另一种出现 2 次、第三种出现 1 次、最后一种完全不出现，并且第一个与最后一个储物柜颜色不同。这样的着色共有多少种？概率中等数值题未尝试免费019和模 3 受限且含大数项的有序三元组数从 0,1,2,3,4,5,6,7,8 中选出互不相同的有序三元组 (a,b,c)。满足 a+b+c ≡ 1 (mod 3) 且 max(a,b,c) > 5 的三元组共有多少个？概率中等数值题未尝试免费020前三个位置都不是固定点集合 1,2,...,8 的排列中，在位置 1、2、3 上都没有固定点的有多少个？概率困难数值题未尝试面试订阅021恰好只有一对相邻整数的四元子集数从集合 1,2,...,10 中取 4 个数。恰好只有一对相邻整数的 4 元子集有多少个？概率中等数值题未尝试免费052两两独立但非相互独立设样本空间 \Omega = \ 1, 2, 3, 4\ ，等概率 P(\ i\ ) = 1/4。定义 A = \ 1, 2\ ，B = \ 1, 3\ ，C = \ 1, 4\ 。证明 A、B、C 两两独立但非相互独立。概率简单derivation未尝试免费053零相关不意味着独立设 X 均匀分布于 \ -1, 0, 1\ 。定义 Y = X 2。计算 Cov (X, Y) 并判断 X 和 Y 是否独立。概率中等derivation未尝试免费054条件独立在边际化下失效随机选一枚硬币：以概率 1/2 选到公平硬币（p = 1/2），以概率 1/2 选到偏硬币（p = 1，总是正面）。设 A 为第一次掷出正面，B 为第二次掷出正面。证明给定硬币类型 C 时 A 和 B 条件独立，但 A 和 B 并非边际独立。计算 P(B \mid A)。概率中等derivation未尝试免费055独立事件在条件化后变为依赖设 A 和 B 为独立事件，P(A) = P(B) = 1/2。定义 D = A \triangle B（A 和 B 恰好有一个发生）。(a) 计算 P(D)、P(A \mid D) 和 P(A \cap B \mid D)。(b) 给定 D 时，A 和 B 是否条件独立？(c) 给定 D c 时，A 和 B 是否条件独立？概率困难derivation未尝试面试订阅058异或构造：两两独立但非相互独立设 X 和 Y 为独立的 Bernoulli (1/2) 随机变量。定义 Z = X \oplus Y（模 2 加法）。(a) 证明 Z \sim Bernoulli (1/2)。(b) 证明 \ X, Y, Z\ 中任意两个随机变量相互独立。(c) X、Y、Z 是否相互独立？给出违反相互独立条件的具体联合事件。概率中等derivation未尝试免费059所有三元组独立但四元组不独立设 \Omega = \ 0, 1, 2, \ldots, 7\ ，等概率 P(\ \omega\ ) = 1/8。将每个 \omega 写成二进制 (b 2, b 1, b 0)。定义事件： A = \ \omega : b 0 = 1\ , \quad B = \ \omega : b 1 = 1\ , \quad C = \ \omega : b 2 = 1\ , \quad D = \ \omega : b 0 \oplus b 1 \oplus b 2 = 1\ . (a) 证明 A、B、C 相互独立。(b) 证明 \ A,B,C,D\ 中任选三个事件均相互独立。(c) 证明 A、B、C、D 不是相互独立的。概率困难derivation未尝试面试订阅060与布尔组合的独立性需要相互独立设 A、B、C 为事件。(a) 证明：若 A、B、C 相互独立，则 A 与 B \cap C c 独立。(b) 设 \Omega = \ 1,2,3,4\ ，等概率，A = \ 1,2\ ，B = \ 1,3\ ，C = \ 1,4\ 。验证 A、B、C 两两独立但非相互独立。(c) 计算 P(A \cap (B \cap C c)) 和 P(A) P(B \cap C c)。A \perp\!\!\perp (B \cap C c) 是否成立？概率困难derivation未尝试面试订阅064独立性在并集下不封闭设 A、B、C 为事件，A \perp\!\!\perp B 且 A \perp\!\!\perp C。(a) 证明：若 A、B、C 相互独立，则 A \perp\!\!\perp (B \cup C)。(b) 设 \Omega = \ 1,2,3,4\ ，等概率，A = \ 1,2\ ，B = \ 1,3\ ，C = \ 1,4\ 。验证 A \perp\!\!\perp B 且 A \perp\!\!\perp C。(c) 证明 A 与 B \cup C 不独立。为什么两两独立不够？概率中等derivation未尝试免费065独立分布的混合破坏独立性一枚均匀硬币：正面朝上时令 (X, Y) = (1, 1)；反面朝上时独立地抽取 X, Y \sim Bernoulli (1/2)。(a) 求 (X, Y) 的完整联合分布。(b) 证明 X 和 Y 的边缘分布相同。(c) X 和 Y 是否独立？证明你的结论。(d) 计算 P(X = 1 \mid Y = 0)，并与 P(X = 1) 比较。解释结果。概率困难derivation未尝试面试订阅067相同的边缘分布不蕴含独立三张卡片分别标有 (0,0)、(0,1) 和 (1,0)。均匀随机抽取一张，X 为第一个数，Y 为第二个数。(a) 求 P(X=0)、P(X=1)、P(Y=0)、P(Y=1)。(b) X 和 Y 的边缘分布是否相同？(c) X 和 Y 是否独立？对所有 (x,y) \in \ 0,1\ 2 验证 P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)。概率中等derivation未尝试免费069与自身独立的事件必为平凡事件设 A 为概率空间中的事件。(a) 写出独立性条件 P(A \cap A) = P(A) P(A)，推导满足条件的 P(A) 值。(b) 在 \Omega = \ 1,2,3,4\ （等概率）上，分别对 A = \ 1\ 、A = \ 1,2\ 、A = \emptyset、A = \Omega 验证你的结论。(c) 从概率意义上解释：一个事件与自身独立意味着什么？概率中等derivation未尝试免费070两两独立且三元独立但四事件非相互独立设 \Omega 为所有含偶数个 1 的长度为 4 的二进制串，等概率： \Omega = \ 0000,\, 0011,\, 0101,\, 0110,\, 1001,\, 1010,\, 1100,\, 1111\ . 定义事件 A i = \ \omega \in \Omega : \omega i = 1\ ，i=1,2,3,4。 (a) 证明每个 P(A i) = 1/2。 (b) 验证所有两两独立：对所有 i j，P(A i \cap A j) = 1/4。 (c) 验证所有三元独立：对所有不同的 i,j,k，P(A i \cap A j \cap A k) = 1/8。 (d) 计算 P(A 1 \cap A 2 \cap A 3 \cap A 4) 并与 P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4) 比较。四个事件是否相互独立？概率困难derivation未尝试面试订阅