第 3 / 79 页
非代码面试题
显示 20 / 1576 道匹配题目
答题状态：未尝试未正确已正确
ID题目领域难度题型进度权限
190奇数负载箱子的期望个数8 个带标签球独立地分配到 5 个带标签箱子里。最终负载为奇数的箱子数期望是多少？概率困难数值题未尝试免费194非空盒子数量的方差将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。令 N 为非空盒子的数量。求 Var (N)。给出精确分数。概率困难数值题未尝试免费195六个盒子中首次碰撞的期望时间球逐个投出，每个球独立且均匀随机地落入6个盒子之一。令 T 为第一个落入已有球的盒子的球的编号（因此 T \ge 2）。推导 E[T] 并给出精确分数。概率困难derivation未尝试免费199盒子最大占有量的期望值将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。令 M = \max(X 1, X 2, X 3) 为单个盒子中球数的最大值。求 E[M]。给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费200通过斯特林数求空盒子数的完整分布将6个可区分的球独立且均匀随机地投入5个可区分的盒子中。令 E 为空盒子的数量。推导 P(E=k) 对所有可能的 k 值的概率质量函数，将每个概率表示为精确分数。概率困难derivation未尝试免费205用指示变量求超几何分布的均值与方差一个箱中有20个球：8红12蓝。不放回地抽取5个球，令 X 为抽到的红球数。定义指示变量 X i = 1 \ 第 i 次抽到红球 \ （i = 1, \ldots, 5）。 (a) 用期望的线性性求 E[X]。 (b) 计算 i \ne j 时的 Cov (X i, X j)，并由此推导 Var (X)。 (c) 验证当 N 且 K/N p 时，你的方差公式退化为二项分布方差 np(1-p)。概率困难derivation未尝试免费210多项分布的协方差与条件分布掷一个公平骰子 n = 60 次。令 X i 为面 i 出现的次数（i = 1, \ldots, 6），则 (X 1, \ldots, X 6) \sim Multinomial (60, 1/6, \ldots, 1/6)。 (a) 用指示变量计算 Cov (X 1, X 2)。 (b) 求相关系数 (X 1, X 2)。 (c) 确定在 X 1 = 12 条件下 (X 2, X 3, X 4, X 5, X 6) 的条件分布，并求 E[X 2 \mid X 1 = 12]。概率困难derivation未尝试免费215通过概率母函数求骰子总和的分布设 X 1, X 2, \ldots, X n 为公平 d 面骰子的独立掷骰结果，每个 X i 均匀分布于 \ 1, 2, \ldots, d\ 。令 S n = X 1 + \cdots + X n。 (a) 推导 G X 1 (s) = E[s X 1 ] 的闭式表达式。 (b) 写出 S n 的 PGF 并由此推导 E[S n] 和 Var (S n)。 (c) 对于 n = 3 个公平六面骰子（d = 6），用 PGF 求 P(S 3 = 10)。 (d) 解释系数提取方法与经典的隔板法加容斥原理之间的联系。概率困难derivation未尝试免费218通过几何等待时间求解赠券收集问题麦片盒中含有 n 种等概率的赠券之一。你逐盒购买，每次独立。设 T 为集齐所有 n 种赠券所需的盒数。 (a) 定义 T i 为从已有 i-1 种到获得第 i 种所需的额外盒数。T i 服从什么分布？ (b) 用 T 1, \ldots, T n 表达 T，并利用期望的线性性推导 E[T]。 (c) 证明 E[T] = n H n。 (d) 计算 n = 10 时的 E[T]。 (e) 利用 T 1, \ldots, T n 的独立性推导 Var (T)。概率中等derivation未尝试免费219独立几何随机变量最大值的分布设 X 1, \ldots, X n 独立同分布 Geometric (p)，P(X i=k)=(1-p) k-1 p。令 M = \max(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M \le m) = [1-(1-p) m] n。 (b) 推导 P(M = m)。 (c) 利用尾和公式表达 E[M] 为无穷级数。 (d) n=2，p=1/2 时，计算 P(M=1), P(M=2), P(M=3) 并精确求 E[M]。 (e) 对一般 n 和小 p，启发式论证 E[M] \approx (\ln n)/p。概率困难derivation未尝试免费285随机边着色中的单色团将完全图 K n 的每条边独立地以等概率 1 2 染为红色或蓝色。对给定整数 k \ge 2，求单色 k-团（所有 \binom k 2 条边颜色相同的 k 顶点完全子图）的期望个数。用 n 和 k 表示结果。概率困难derivation未尝试免费286随机排列中的上升数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。位置 i（1 \le i \le n-1）处的上升是指 (i) < (i+1) 的情况。求上升数的期望值。概率简单derivation未尝试免费288随机图中的孤立顶点在 Erdos-Renyi 随机图模型 G(n,p) 中，n 个标记顶点之间的 \binom n 2 条可能的边各自独立地以概率 p 出现。孤立顶点是指没有边与之关联的顶点。求孤立顶点个数的期望值。概率中等derivation未尝试免费295随机排列中的循环数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。求 的循环分解中循环个数的期望值，将答案表示为 n 的一个常见函数。概率困难derivation未尝试免费300两棵随机生成树的公共边设 T 1 和 T 2 是完全图 K n 的两棵独立均匀随机生成树（各自从所有 n n-2 棵标记生成树中等概率抽取，相互独立）。求同时属于 T 1 和 T 2 的边数的期望值。概率困难derivation未尝试免费301随机排列的下降数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的一个均匀随机排列。若 (i) > (i+1)，则称位置 i 为一个下降。下降个数的期望值是多少？概率简单数值题未尝试免费302排成一排的颜色匹配n 个人排成一排，每人独立且等概率地从红、绿、蓝三种颜色中选一种。相邻且选了相同颜色的对数的期望是多少？概率简单数值题未尝试免费305独特选择与独特邻居对n 个人排成一排，每人独立且等概率地从 \ 1, 2, \dots, k\ 中选一个整数。若某人选的数没有任何其他人也选，则称该人是「独特的」。 (a) 用示性变量求独特人数的期望 E[U]。 (b) 若相邻的两人 (i, i+1) 都是独特的，则称之为一个「独特邻居对」。求独特邻居对数的期望 E[N]。概率困难derivation未尝试免费306排列中的中间位置设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。若 \min( (i-1), (i+1)) < (i) < \max( (i-1), (i+1))，则称位置 i \in \ 2, \dots, n-1\ 为中间位置。中间位置个数的期望是多少？概率简单数值题未尝试免费323两个随机子集的重叠从 \ 1, 2, \dots, n\ 的所有 \binom n k 个大小为 k 的子集中，独立且均匀地随机选取两个子集 S 和 T（1 \le k \le n）。求交集大小 |S \cap T| 的期望。概率中等derivation未尝试免费