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非代码面试题
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398卡方分布的可加性（MGF 证明）设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立。利用矩生成函数证明 X+Y \sim \chi 2(m+n)。概率中等derivation未尝试免费400由卡方变量推导 Fisher F 分布设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立，F = (X/m)/(Y/n)。 (a) 利用变换 (F,W)=(nX/(mY), Y)，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 W 积分得 F 的边际 PDF，验证为 F(m,n) 分布。 (c) 证明 E[F] = n/(n-2)（n>2）。概率困难multi part未尝试免费402指数随机变量最小值的分布设 X 1, \ldots, X n 为独立的 Exp ( ) 随机变量。推导 X (1) = \min(X 1, \ldots, X n) 的分布。概率简单derivation未尝试免费404均匀顺序统计量的期望极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量。极差定义为 R = X (n) - X (1) 。推导 E[R] 关于 n 的封闭表达式。概率中等derivation未尝试免费405极值的联合分布与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。令 X (1) = \min i X i，X (n) = \max i X i。概率困难multi part未尝试面试订阅407均匀分布最大值的方差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。推导 Var (X (n) ) 关于 n 的封闭表达式。概率中等derivation未尝试免费408第二小指数变量的概率密度函数设 X 1, X 2, X 3, X 4 为独立的 Exp (1) 随机变量。推导第二顺序统计量 X (2) 的 PDF。概率中等derivation未尝试免费410两个均匀顺序统计量的联合密度与协方差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。考虑顺序统计量 X (i) 和 X (j) ，其中 1 \le i < j \le n。概率困难multi part未尝试面试订阅413第 k 个均匀顺序统计量的 Beta 分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)。推导第 k 个顺序统计量 X (k) 服从 Beta (k, n-k+1) 分布。概率中等derivation未尝试免费414指数顺序统计量间距的 Renyi 表示设 X 1,\ldots,X n 为 iid Exp ( )，X (1) \le\cdots\le X (n) 为顺序统计量。定义归一化间距 D k=(n-k+1)(X (k) -X (k-1) )（k=1,\ldots,n），其中 X (0) =0。概率困难multi part未尝试面试订阅415均匀样本中程的分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 2）。中程定义为 M= X (1) +X (n) 2 。利用 (X (1) ,X (n) ) 的联合密度推导 M 的 PDF。概率困难derivation未尝试面试订阅418第二小指数变量的期望值设 X 1,\ldots,X 5 为独立的 Exp (1) 随机变量。推导 E[X (2) ]。概率中等derivation未尝试免费419给定最大值时最小值的条件分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 3）。X (1) 和 X (n) 分别为最小值和最大值。概率困难multi part未尝试面试订阅420第 k 个均匀顺序统计量的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)。推导 Var (X (k) ) 的封闭表达式（1\le k\le n）。概率困难derivation未尝试面试订阅423均匀顺序统计量极差的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)，R=X (n) -X (1) 。推导 Var (R) 关于 n 的表达式。概率中等derivation未尝试免费425两个最小指数顺序统计量之比设 X 1, X 2 为独立的 Exp (1) 随机变量，顺序统计量为 X (1) \le X (2) 。定义 U=X (1) /X (2) 。概率困难multi part未尝试面试订阅432指数竞赛中的非对称惩罚两个独立警报分别在 Exp (4) 和 Exp (6) 时刻触发。警报 1 先触发付 3 元，警报 2 先触发付 5 元。首个警报触发后，剩余警报由无记忆性重新开始，触发时再付 1 元。求总支付的期望。概率中等数值题未尝试免费434无记忆元件阵列的第二次故障系统有 4 个独立元件，寿命均为 Exp (2)。元件故障后移除，幸存元件由无记忆性继续以 Exp (2) 运行。求第二个元件故障的期望时间。概率中等数值题未尝试免费438无记忆最小值下的机器替换工厂运行 3 台寿命独立 Exp (1) 的机器。故障机器即时替换为全新同型机器，其余机器由无记忆性继续运行。求 [0,10] 内期望替换次数。概率中等数值题未尝试免费442由无记忆性推导常数风险率设备寿命 X 的生存函数 F (t)，风险率 h(t) = f(t)/ F (t)。证明无记忆性等价于 h(t) = （常数），从而 X \sim Exp ( )。概率中等derivation未尝试免费