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非代码面试题
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324随机着色中的单色边将完全图 K n 的每个顶点独立地以概率 1/2 染红色或蓝色。若一条边的两个端点颜色相同，则称其为单色边。求单色边个数的期望。概率中等数值题未尝试免费325随机点的可比较对数设 X 1, X 2, \dots, X n 独立均匀分布在 [0,1] d（d 维单位超立方体）上。若两点 X i 和 X j 满足 X i 在每个坐标上均不超过 X j，或反之，则称它们可比较。求可比较对数的期望。概率困难derivation未尝试免费333随机次数抛硬币的全方差公式先抽取 N \sim Poisson (5)，然后在给定 N = n 的条件下掷 n 次公平硬币，令 X 为正面次数。求 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费335无放回抽样的样本均值方差一个箱子中有编号为 1, 2, \dots, N 的 N 个球。不放回地抽取 n 个球，令 X = \tfrac 1 n \sum i=1 n X i（X i 为第 i 次抽到的编号）。推导 Var ( X ) 关于 N 和 n 的表达式，并计算 N=10、n=4 时的值。概率困难derivation未尝试免费338两个独立均匀变量之积的方差设 X 和 Y 独立，均服从 [0,1] 上的均匀分布。求 Var (XY)。概率中等数值题未尝试免费339二元正态的条件方差设 (X, Y) 服从二元正态分布，E[X] = E[Y] = 0， Var (X) = 1， Var (Y) = \sigma Y 2， Corr (X,Y) = 。推导 Var (Y \mid X = x) 并说明其不依赖于 x。对 \sigma Y = 3、 = 0.6 求数值。概率困难derivation未尝试免费343多项分布计数的协方差将一个公平六面骰子独立投掷 60 次。令 N 1 为面 1 出现的次数，N 2 为面 2 出现的次数。 (a) 求 Cov (N 1, N 2)。 (b) 利用 (a) 的结果求 Var (N 1 + N 2)，并通过识别 N 1 + N 2 的分布来验证。概率中等数值题未尝试免费344用 Delta 方法近似比率的方差设 X 和 Y 独立，E[X] = 10， Var (X) = 4，E[Y] = 5， Var (Y) = 1。利用 Delta 方法（一阶 Taylor 展开）推导 Var (X/Y) 的近似公式并求数值。概率困难derivation未尝试免费350正态总体样本方差的精确方差设 X 1, \ldots, X n iid N( , 2)，样本方差 S 2 = 1 n-1 \sum i=1 n(X i - X ) 2。 (a) 确定 (n-1)S 2/ 2 的分布，据此推导 Var (S 2) 的精确公式。 (b) 当 n=10、 2=3 时求 Var (S 2)。概率困难derivation未尝试免费352几何次数下的瓦尔德等式反复掷一枚均匀骰子，直到出现 6 为止。每次非 6 的结果计入得分，出现 6 时不计分且游戏结束。设 S 为总得分，利用瓦尔德等式求 E[S]。概率简单数值题未尝试免费359连续混合参数下的塔性质设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U=u，X \sim Geometric (u)（首次成功的试验次数，P(X = k \mid U = u) = (1-u) k-1 u）。利用塔性质求 E[X]。概率中等数值题未尝试免费363伯努利切换指数速率的两层塔性质设 Z \sim Bernoulli (1/2)。Z=1 时 Y \sim Exp (1)，Z=0 时 Y \sim Exp (2)（速率参数）。给定 Y=y，X \sim Poisson (y)。利用迭代塔性质和 Eve 定律，求 E[X] 和 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费365三层正态层级模型：迭代塔性质与平滑三层正态层级：Z \sim N(0,1)，Y \mid Z \sim N(Z,1)，X \mid Y \sim N(Y,1)。 (a) 利用迭代期望求 E[X] 和 Var (X)。 (b) 利用塔性质 E[X \mid Z] = E[E[X \mid Y] \mid Z] 求 E[X \mid Z]。 (c) 通过计算 Cov (X,Z) 并利用联合正态性验证 (b) 的结果。概率困难derivation未尝试免费367几何停止指数和的方差设 N \sim Geometric (1/2)（P(N=k)=(1/2) k，k=1,2,\ldots），给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布于 Exp (1)。令 S=X 1+\cdots+X N。利用全期望定律和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费369三层泊松-二项-均匀塔设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U 时 N \mid U \sim Poisson (10U)，给定 (N,U) 时 X \mid N,U \sim Binomial (N,U)。利用迭代塔性质和 Eve 定律求 E[X] 和 Var (X)。概率困难数值题未尝试免费373加法伯努利马尔可夫链中的两步塔设 X 1 \sim Uniform \ 0,1\ ，X 2=X 1+B 1，X 3=X 2+B 2，其中 B 1,B 2 独立同分布于 Bernoulli (1/2)。 (a) 利用塔性质求 E[X 3 \mid X 1] 和 E[X 3]。 (b) 利用 Eve 定律求 Var (X 3)。概率中等数值题未尝试免费374复合泊松和：均值和方差（Eve 定律）设 N \sim Poisson (4)，给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布，E[X i]=3， Var (X i)=2。令 S=X 1+\cdots+X N。利用塔性质和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费375共享速率的泊松-指数和：双层塔与 Eve 定律设 Z \sim Uniform (1,3)，给定 Z 时 N \mid Z \sim Poisson (Z)，给定 (N,Z) 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布于 Exp (Z)（速率参数）。令 S=X 1+\cdots+X N。利用迭代塔性质和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率困难derivation未尝试免费377均匀变量取指数后的分布（雅可比方法）设 X \sim Uniform (0,1)。利用换元（雅可比）公式求 Y = e X 的概率密度函数。概率简单derivation未尝试免费378两个独立均匀变量之和的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用卷积公式推导 Z = X + Y 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费